Ta có:

- Vì hình thang vuông nên ta có $AD \parallel BC$

- $AB = CD$ vì hình thang vuông và vuông tại A và D

- $AB = \dfrac{2}{3} CD$ do đề cho

- $EC$ là đường trung trực của $AB$ (vì $ABCD$ là hình thang)

- Tam giác $ABE$ và $ACE$ có chung đáy $AE$

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

- $S_{ABE} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BE$

- $S_{ACE} = \dfrac{1}{2} AC \cdot CE$

Vậy ta cần tính $BE$ và $CE$.

Gọi $BC = x$ và $AD = y$. Ta có: 

$AB = CD = \dfrac{2}{3}CD = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}x = x$

Vậy:

$AC = AD + DC = y + x$

Do $EC$ là đường trung trực của $AB$ nên $EB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}x$. 

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $AEC$ ta có:

$\cos \angle AEC = \dfrac{AE^2 + EC^2 - AC^2}{2 AE \cdot EC}$

Mà $AE = AB + BE = x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}x$ và $EC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}(x + y)$. 

Từ đó ta có:

$\cos \angle AEC = \dfrac{(3x)^2 + \left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2 - (x+y)^2}{2 \cdot 3x \cdot \dfrac{x+y}{2}} = \dfrac{3x^2 - xy}{3x(x+y)}$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $AEB$ ta có:

$\cos \angle AEB = \dfrac{AE^2 + BE^2 - AB^2}{2 AE \cdot BE}$

Mà $AE = \dfrac{3}{2}x$ và $BE = \dfrac{1}{2}x$ nên:

$\cos \angle AEB = \dfrac{\left(\dfrac{3}{2}x \right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}x\right)^2 - x^2}{2 \cdot \dfrac{3}{2}x \cdot \dfrac{1}{2}x} = \dfrac{1}{3}$

Do đó:

$\sin \angle AEC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle AEC} = \dfrac{\sqrt{8xy-3x^2}}{3(x+y)}$ 

$\sin \angle AEB = \sqrt{1 - \cos^2 \angle AEB} = \dfrac{\sqrt{2x^2}}{3x} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$

Vậy:

$S_{ABE} = \dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{6}x^2$

$S_{ACE} = \dfrac{1}{2}(x+y) \cdot \dfrac{\sqrt{8xy-3x^2}}{3(x+y)} = \dfrac{\sqrt{8xy-3x^2}}{6}$

Ta cần so sánh $S_{ABE}$ và $S_{ACE}$:

$AC = AD + DC = y + x$0

$AC = AD + DC = y + x$1

Vậy để so sánh $S_{ABE}$ và $S_{ACE}$, ta cần tính giá trị của $\dfrac{\sqrt{2}x^2}{\sqrt{8xy-3x^2}}$ hoặc $\dfrac{\sqrt{8xy-3x^2}}{\sqrt{2}x^2}$. 

Đặt $t=\dfrac{y}{x}$ (với $t > 1$ do $AB$ dài hơn $CD$). Ta có:

$AC = AD + DC = y + x$2

Ta tính bình phương của cả tử và mẫu:

$AC = AD + DC = y + x$3

$AC = AD + DC = y + x$4

Vậy:

$AC = AD + DC = y + x$5

Tương tự:

$AC = AD + DC = y + x$6

Vậy $\dfrac{\sqrt{2}x^2}{\sqrt{8xy-3x^2}} > \dfrac{\sqrt{8xy-3x^2}}{\sqrt{2}x^2}$ khi và chỉ khi:

$AC = AD + DC = y + x$7

$AC = AD + DC = y + x$8

$AC = AD + DC = y + x$9

$\cos \angle AEC = \dfrac{AE^2 + EC^2 - AC^2}{2 AE \cdot EC}$0

Vì $t > 1$ nên $t - 1 > 0$. Do đó, ta kết luận rằng $S_{ABE} > S_{ACE}$.

Vậy diện tích tam giác $ABE$ lớn hơn diện tích tam giác $ACE$.