Gọi $P$ là giao điểm của $BM$ và $AN$. Khi đó, ta có $BM=2AM$ và $AN=\frac{1}{2}AC$, suy ra
$\frac{BP}{PM}=\frac{AB}{AM}=3,\qquad\frac{CP}{PN}=\frac{AC}{AN}=2.$
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ và đường chéo $MSP$ ta có:
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CS}{SA}=1,$
tương đương với
$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2},\qquad\frac{CS}{SA}=\frac{2}{3}.$
Tương tự, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ và đường chéo $NCP$ ta được:
$\frac{BN}{NA}\cdot\frac{AC}{CM}\cdot\frac{MP}{PB}=1,$
tương đương với
$\frac{BN}{NA}=2,\qquad\frac{MP}{PB}=\frac{3}{4}.$
Do đó,
$[ABC]=[ABP]+[ACP]=\frac{1}{3}[AMS]+\frac{2}{3}[ANC]=\frac{5}{18}[AMN]=\frac{35}{18}\,\text{cm}^2.$
Suy ra
$[BCMN]=[ABC]-[AMB]-[ANC]-[AMN]=\frac{35}{18}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{21}{2}-7=\frac{14}{9}\,\text{cm}^2.$
Vậy diện tích hình tứ giác $BCMN$ là $\frac{14}{9}\,\text{cm}^2$.