Đề thi Giữa học kì 2 Toán lớp 10 năm 2021 có lời giải (4 đề)

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa học kì 2

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 1)

I. Trắc nghiệm (2 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng cho mỗi câu sau:

Câu 1: Cho 2 đường thẳng  lần lượt có phương trình là x + 2y - 1 = 0

và 3x + y + 6 = 0. Góc giữa 2 đường thẳng là:

Câu 2: Điều kiện xác định của hàm số    là          

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình  là

Câu 4: Giá trị của m để bất phương trình luôn đúng với mọi  là                                                                                                                                                          

II. Tự luận (8 điểm)

Câu 5:  (4 điểm) 

Giải các bất phương trình sau:

Câu 6:  (1 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình  với .

Câu 7: (2 điểm)

          Cho 2 điểm A(-1;1), B(3;7) và đường thẳng d có phương trình: 

1)  Xác định tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại A.

2)  Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABD bằng 50. 

Câu 8: (1điểm)

         Cho . Chứng minh rằng .

Đáp án và thang điểm

I. Phần trắc nghiệm khách quan: (2 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1:  Chọn B

Ta có: 

Suy ra góc giữa hai đường thẳng .

 Câu 2:  Chọn A

Câu 3:  Chọn C

Kết hợp điều kiện, Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là .

Câu 4:  Chọn C

Bất phương trình  luôn đúng với mọi   khi và chỉ khi

Vậy  thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

II. Phần tự luận 

Câu 5. 

1) Giải bất phươmg trình 

    Kết hợp với điều kiện (**) thì (1) vô nghiệm     (0,75 điểm)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là . (0,5 điểm)

2) Giải bất phương trình  

Ta có: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là . (0,5 điểm)

Câu 6.

Bất phương trình đã cho  với mọi x >1

Gọi  và g(x) = m thì g(x) có đồ thị là đường thẳng

còn    có bảng biến thiên

 (0,5 điểm)

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy (*) đúng khi (0,25 điểm)

Vậy với  thì BPT đã cho có nghiệm. (0,25 điểm)

Câu 7. 

1) Cho 2 điểm A(-1;1), B(3;7) và đường thẳng d có phương trình: .  Xác định tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại A.

*Do  vuông tại A(-1; 1) nên điểm C thuộc đường thẳng đi qua A và nhận  làm véc tơ pháp tuyến và có phương trình  (0,5 điểm)

 *Mặt khác: Do điểm  nên toạ độ của C là nghiệm của hệ phương trình 

 Vậy C(5;-3). (0,25 điểm)

2) Cho 2 điểm A(-1; 1), B(3; 7) và đường thẳng d có phương trình:   . Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABD bằng 50.

Do 

Trong đó 

Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương và đi qua A(-1;1)

phương trình  của đường thẳng AB là (0,25 điểm)

  ;    

Câu 8. Cho . Chứng minh rằng .

Giải:

--------------------------------------------------

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa học kì 2

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 2)

I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1:

     Cho 2 đường thẳng   lần lượt có phương trình là  và . Góc giữa 2 đường thẳng là:

A.                    B.                              

C.                      D.  

Câu 2: Điều kiện xác định của hàm số    là          

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình  là

Câu 4: Giá trị của m để bất phương trình luôn đúng với mọi là

II. Tự luận (8 điểm)

Câu 5:  (4 điểm) 

Giải các bất phương trình sau:  

Câu 6:  (1 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình   với 

Câu7: (2 điểm)

          Cho 2 điểm M(1;1), N(-2;3) và đường thẳng  có phương trình: 

1)  Xác định tọa độ điểm I thuộc đường thẳng  sao cho tam giác MNI vuông tại M.

2)  Xác định tọa độ điểm K thuộc đường thẳng  sao cho diện tích tam giác MNK bằng  đvdt.

Câu 8: (1điểm) Cho .Chứng minh rằng .

Đáp án và thang điểm

I. Phần trắc nghiệm khách quan: (2 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1:   Chọn B

Ta có: 

Vậy góc giữa hai đường thẳng  là  .

Câu 2:   Chọn C

Hàm số  có nghĩa khi và chỉ khi

Câu 3:   Chọn B

Kết hợp điều kiện, Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là .

Câu 4:   Chọn A

Bất phương trình luôn đúng với mọi 

Vậy  thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 II. Phần tự luận

Câu 5. 

1) Giải bất phương trình       

 Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của (1) là (0,75 điểm)

Kết hợp với điều kiện (**) thì (1) có nghiệm là  (0,75 điểm)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là . (0,5 điểm)

2) Giải bất phương trình  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là . (0,5 điểm)

Câu 6. 

Bất phương trình đã cho  với mọi 

Gọi  và g(x) = a thì f(x) có bảng biến thiên

(0,5 điểm)

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy (*) nghiệm đúng khi (0,25 điểm)

Vậy với a > 8 thì BPT đã cho có nghiệm.  (0,25 điểm)

Câu 7. 

1)       vuông tại M(1; 1) nên điểm I thuộc đường thẳng đi qua M và nhận  làm véc tơ pháp tuyến và có phương trình (0,5 điểm)

       *Mặt khác: Do điểm nên toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình

2) Do  : Trong đó 

       Đường thẳng MNcó véc tơ chỉ phương và đi qua phương trình của đường thẳng MN là (0,25 điểm)

Vậy có 2 điểm K thỏa mãn bài ra là K(-1;12) và . (0,25 điểm)

Câu 8. 

-------------------------------------------------

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa học kì 2

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 3)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1:        Tam thức bậc hai . Với giá trị nào của m thì f(x) có hai nghiệm phân biệt?

A. .   

B. .

C. 

.D. .

Câu 2:        Tìm tất cả các giá trị  thỏa mãn điều kiện của bất phương trình .

A.               B.       

C.                D. 

Câu 3:         Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?

A.  và        

B.  và 

C.  và          

D.  và 

Câu 4:         Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. .  B. .  

C. .     D. .

Câu 5:         Hệ bất phương trình sau có tập nghiệm là

A. .          B. .   

C.       D. .

Câu 6:          Bảng xét dấu sau là của biểu thức nào?

Câu 7:       Tập nghiệm của phương trình -3x -6 > 0 là:

Câu 8:          khi và chỉ khi

Câu 9:        Tìm số các giá trị nguyên của m để mọi x thuộc đoạn  đều là nghiệm của bất phương trình 

A. 6.  B. 4.  

C. 5.  D. 3

Câu 10:      Miền nghiệm của bất phương trình  không chứa điểm nào trong các điểm sau?

Câu 11:       Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là s. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Biểu diễn hình học của s là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ kể cả bờ d, với d là đường thẳng .

B. Biểu diễn hình học của s là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ kể cả bờ d, với d là đường thẳng .

Câu 12:       Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ sau?

Câu 13:       Một người nông dân dự định trồng mía và ngô trên diện tích 8 sào đất (1 sào bằng 360m2). Nếu trồng mía thì trên mỗi sào cần 10công và thu lãi 1500000 đồng, nếu trồng ngô thì trên mỗi sào cần  công và thu lãi 2000000 đồng. Biết tổng số công cần dùng không vượt quá 90công. Tính tổng số tiền lãi cao nhất mà người nông dân có thể thu được.

A. 14 (triệu đồng)  B. 12 (triệu đồng)  

C. 16 (triệu đồng)  D. 13 (triệu đồng)

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

Câu 15:      Tam thức bậc hai  nhận giá trị dương khi và chỉ khi

Câu 16:       Tập nghiệm của bất phương trình:  là:

Câu 17: Gọi M,m lần lượt là nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của bất phương trình . Tính M+m.

Câu 18:       Hệ bất phương trình  có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 5.  B. 1.  

C. 2.  D. 0.

Câu 19:      Cho hệ bất phương trình . Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Câu 20:       Bất phương trình có tập nghiệm là:

Câu 21:       Cho tam thức bậc hai . Điều kiện cần và đủ để  là:

Câu 22:      Cho tam thức bậc hai . Tìm m để f(x) luôn âm với mọi .

Câu 23:      Bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi . Tính .

A. 5.  B. 1.  

C. 2.  D. 0.

Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình  là :

Câu 25:       Tam giác ABC có , góc . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Câu 26:  Cho  có , trên cạnh BC lấy điểm M sao cho .

Tính độ dài đoạn  .

Câu 27:       Cho tam giác ABC có . Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. .        B. .        

C. .             D. .

Câu 28:       Muốn đo khoảng cách từ người A trên bờ đến chiếc thuyền C neo đậu trên sông, người ta chọn một điểm B trên bờ và đo đượCab=160m, .Tính độ dài đoạn  (xấp xỉ đến hàng phần trăm)

A. 74,87 (m)                    B. 74,88 (m)         

C. 165,93 (m)       D. 165,89 (m)

Câu 29:       Cho tam giác ABC có . Gọi M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. .    

B. .

C. . 

D. .

Câu 30:      Cho một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là 13,14,15. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.

A. 2.        B. 4.  

C. .        D. 3.

Câu 31:       Cho tam giác ABC có BC=a, góc A bằng  và hai đường trung tuyến BM,CN vuông góc với nhau. Diện tích tam giác ABC là

Câu 32: Cho tam giác ABC có . Nhận dạng tam giác ABC biết .

A. Tam giác cân.   B. Tam giác vuông.

C. Tam giác đều.   D. Tam giác có góc 60 độ.

Câu 33:       Tam giác ABC có . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. .         

C. . D. .

Câu 34:       Trong các cặp bất phương trình dưới đây, cặp bất phương trình nào tương đương?

B. và .

C. và .  

Câu 35:       Bất phương trình  có bao nhiêu nghiệm?

A. Hai nghiệm.      B. Vô số nghiệm.  

C. Vô nghiệm.       D. Có một nghiệm.

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 36.       Giải bất phương trình .

Câu 37.       Tìm m để .

Câu 38.       Cho tam giác ABC có . Tính độ dài BC và .

Đáp án và thang điểm

I. Trắc nghiệm

A. Bảng đáp án: 0,2 x 35 = 7 điểm

B. Lời giải chi tiết 

Câu 1: Tam thức bậc hai . Với giá trị nào của m thì f(x) có hai nghiệm phân biệt?

A. .   

B. .

C. 

.D. .

Lời giải

Chọn A

Để f(x) có hai nghiệm phân biệt thì 

Lời giải

Chọn A

Để f(x) có hai nghiệm phân biệt thì 

Câu 3:         Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?

A.  và        

B.  và 

C.  và          

D.  và 

Lời giải

Chọn B

Bất phương trình 

Bất phương trình  Đáp án A sai.

Bất phương trình  Đáp án B đúng.

Bất phương trình  Đáp án C sai.

Bất phương trình  Đáp án D sai.

Ghi nhớ: Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Câu 4:         Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. .  B. .  

C. .     D. .

Lời giải

Chọn C

Ghi nhớ:Bất phương trình bậc nhất một ẩn x có dạng tổng quát là:

. Trong đó, a,b là các hằng số,  và x là ẩn số.

Câu 5:        Hệ bất phương trình sau có tập nghiệm là

A. .          B. .   

C.       D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có 

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình .

    Câu 6:   Bảng xét dấu sau là của biểu thức nào?

Lời giải

Chọn C

* Ta có:

* Hoặc nhận dạng bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất “phải cùng trái khác với a”.

Câu 7:       Tập nghiệm của phương trình -3x -6 > 0 là:

Lời giải

Chọn D

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Câu 8:          khi và chỉ khi

Lời giải

Chọn C

* Với a>0 ta có:  (không thỏa mãn yêu cầu bài toán là )

* Với a<0 ta có:  (không thỏa mãn yêu cầu bài toán là )

* Với a=0 ta có  khi đó 

Vậy 

Câu 9:      

Tìm số các giá trị nguyên của m để mọi x thuộc đoạn  đều là nghiệm của bất phương trình 

A. 6.  B. 4.  

C. 5.  D. 3

Lời giải

Chọn C.

*) Nếu  ta được bất phương trình (1) trở thành , bất phương trình này đúng với mọi x thuộc 

*) Nếu ta được bất phương trình (1) có tập nghiệm  khi đó yêu cầu bài toán xảy ra khi 

. Kết hợp với  nên 

*) Nếu ta được bất phương trình (1)có tập nghiệm 

khi đó yêu cầu bài toán xảy ra khi 

. Kết hợp với  nên 

Kết hợp cả 3 trường hợp ta có: m thuộc đoạn  sẽ thỏa mãn. Do m nguyên nên 

Có 5 giá rị nguyên của m thỏa mãn. 

Câu 10:    

Miền nghiệm của bất phương trình  không chứa điểm nào trong các điểm sau?

Lời giải

Chọn D

Vậy miền nghiệm của bất phương trình  không chứa điểm .

Câu 11:       

 Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là s. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Biểu diễn hình học của s là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ kể cả bờ d, với d là đường thẳng .

B. Biểu diễn hình học của s là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ kể cả bờ d, với d là đường thẳng .

Lời giải

Lời giải

Chọn C

Ta có: .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là .

Câu 12:     

 Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ sau?

Lời giải

Chọn B

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng  và đường thẳng 

Miền nghiệm gồm phần phía trên trục hoành nên y nhận giá trị dương.

Lại có (0,0) thỏa mãn bất phương trình 

Câu 13:     

 Một người nông dân dự định trồng mía và ngô trên diện tích 8 sào đất (1 sào bằng 360m2). Nếu trồng mía thì trên mỗi sào cần 10công và thu lãi 1500000 đồng, nếu trồng ngô thì trên mỗi sào cần công và thu lãi 2000000 đồng. Biết tổng số công cần dùng không vượt quá 90công. Tính tổng số tiền lãi cao nhất mà người nông dân có thể thu được.

A. 14 (triệu đồng)  B. 12 (triệu đồng)  

C. 16 (triệu đồng)  D. 13 (triệu đồng)

Lời giải

Chọn D

Gọi diện tích trồng mía là x,(đơn vị: sào, đk: )

Gọi diện tích trồng ngô là y, (đơn vị: sào, đk: )

Diện tích trồng mía và ngô dự định là 8 sào nên ta có bpt: 

Tổng số công cần dùng cho cả hai loại không vượt quá 90 nên ta có bpt: 

Tổng số tiền lãi thu được là:  (đơn vị: triệu đồng)

Khi đó, ta đưa về bài toán tìm (x,y)  thỏa mãn hbpt:  để  đạt giá trị lớn nhất.

Biểu diễn hình học tập nghiệm hbpt ta được miền nghiệm cuả hbpt là tứ giác OABC kể cả biên,

với 

Câu 14 Tập nghiệm của bất phương trình  là:

Lời giải

Chọn A

Ta có: .

Bảng xét dấu: 

 Dựa vào bảng xét dấu ta có: .

Câu 15:    

Tam thức bậc hai  nhận giá trị dương khi và chỉ khi

Lời giải

Chọn C

.

Vậy x<-1  hoặc x>3.

Câu 16:       

 Tập nghiệm của bất phương trình:  là:

Lời giải

Chọn A

ĐKXĐ:  khi đó  nên bất phương trình đã cho tương đương với BPT: . Kết hợp đk ta được tập nghiệm: 

Câu 17:    

Gọi M,m lần lượt là nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của bất phương trình . Tính M+m.

Lời giải

Chọn A

BXD: 

Tập nghiệm của bất phương trình: 

Nghiệm nguyên nhỏ nhất: m=-4 ; nghiệm nguyên lớn nhất: M=0

Câu 18:       

 Hệ bất phương trình  có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 5.  B. 1.  

C. 2.  D. 0.

Lời giải

Chọn C

Ta có 

Vậy hệ bất phương trình có hai nghiệm nguyên thoả mãn.

Ghi nhớ: nắm kĩ qui tắc xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đồng thời nhớ cách tìm giao- hợp- hiệu của các tập hợp số.

Câu 19:    

Cho hệ bất phương trình . Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Lời giải

Chọn D

Hệ tương đương: . Hệ có nghiệm .

Câu 20:      

 Bất phương trình có tập nghiệm là:

Lời giải

Chọn A

Ta có

Câu 21:    

Cho tam thức bậc hai . Điều kiện cần và đủ để  là:

Lời giải

Chọn A

Câu 22:    

Cho tam thức bậc hai . Tìm m để f(x) luôn âm với mọi .

Lời giải

Chọn B

Câu 23:     

Bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi . Tính .

A. 5.  B. 1.  

C. 2.  D. 0.

Lời giải

Chọn B

Câu 24:     

Tập nghiệm của bất phương trình  là :

Lời giải

Chọn D

Ta có :

Ghi nhớ: Công thức được sử dụng:

Câu 25:      

Tam giác ABC có , góc . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Lời giải

Chọn A

Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có .

Câu 26:     

 Cho  có , trên cạnh BC lấy điểm M sao cho .

Tính độ dài đoạn .

  .

Lời giải

Chọn D

Chọn D

.

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABM ta có:

.

.

Câu 27:       

  Cho tam giác ABC có . Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. .        B. .        

C. .             D. .

Lời giải

Chọn A

Theo định lí hàm số sin ta có

.

Câu 28:      

Muốn đo khoảng cách từ người A trên bờ đến chiếc thuyền C neo đậu trên sông, người ta chọn một điểm B trên bờ và đo đượCab=160m, .Tính độ dài đoạn  (xấp xỉ đến hàng phần trăm)

A. 74,87 (m)                    B. 74,88 (m)         

C. 165,93 (m)       D. 165,89 (m)

Lời giải

Chọn D

Ta có:

Áp dụng định lí hàm sin trong tam giác ABC ta có:

.

Ghi nhớ: Cho tam giác ABC có  và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ta có .

Câu 29:   

Cho tam giác ABC có . Gọi M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. .    

B. .

C. . 

D. .

Lời giải

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:

Câu 30:     

Cho một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là 13,14,15. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.

A. 2.        B. 4.  

C. .        D. 3.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

.

.

Lại có: .

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác  r=4.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác  .

Câu 31:      

Cho tam giác ABC có BC=a, góc A bằng  và hai đường trung tuyến BM,CN vuông góc với nhau. Diện tích tam giác ABC là

Lời giải

Chọn D

Ta có.

Do các đường trung tuyến BM,CN vuông góc với nhau nên

.

Diện tích tam giác ABC  là .

Câu 32:      

Cho tam giác ABC có . Nhận dạng tam giác ABC biết .

A. Tam giác cân.   B. Tam giác vuông.

C. Tam giác đều.   D. Tam giác có góc 60 độ.

Lời giải

Chọn A

Mặt khác theo định lý cosin: do vậy ta có:

Vậy tam giác ABC cân tại C.

Vậy tam giác   cân tại  .

Câu 33:      Tam giác ABC có . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. .         

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng định lí sin: . Suy ra .

Thay vào biểu thức  ta được: .

Do đó  (vì ).

Câu 34:     

 Trong các cặp bất phương trình dưới đây, cặp bất phương trình nào tương đương?

B. và .

C. và .  

Lời giải

Chọn C

Nên cặp bất phương trình này tương đương.

Câu 35:      

 Bất phương trình  có bao nhiêu nghiệm?

A. Hai nghiệm.      B. Vô số nghiệm.  

C. Vô nghiệm.       D. Có một nghiệm

Lời giải

Chọn B

Điều kiện

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm.

II. Tự luận

Câu 36.   Giải bất phương trình .

Lời giải

Câu 37.      Tìm m để .

Lời giải

Với m=0 thì bất phương trình trở thành 3>0 luôn đúng với mọi  nên m=0 thỏa mãn.

Với  thì bất phương trình nghiệm đúng với  khi và chỉ khi .

Kết luận:  là điều kiện cần tìm.

Câu 38.       Cho tam giác ABC có . Tính độ dài BC và .

Lời giải

Áp dụng định lý cosin ta có 

.

Áp dụng định lý sin ta có 

.

-------------------------------------------

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa học kì 2

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 4)

I. Đề bài

Câu 1:         Tập xác định của hàm số  là

Câu 2:          Phương trình  có nghiệm duy nhất khi:

Câu 3:         Với giá trị nào của m thì phương trình  có hai nghiệm 

Câu 4:          Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 3.            B. 2.  

C. 1.            D. 0.

Câu 5:         Tập nghiệm của phương trình:  là

Câu 6:          Phương trình  có bao nhiêu nghiệm?

A. 2.  B. 1.  

C. 0.            D. Vô số.

Câu 7:          Tính tổng các nghiệm của phương trình 

A. 4.            B. 3.

C. 5.            D. 2.

Câu 8:         Tích các nghiệm của phương trình  là:

A. 2.            B. 3.  

C. 0.            D. -1.

Câu 9:          Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau

Câu 10:        Tìm điều kiện của bất phương trình .

Câu 11:        Hệ bất phương trình  có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Câu 12:       Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào?

Câu 13:        Cho nhị thức bậc nhất . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

Câu 14:        Tập nghiệm của bất phương trình có dạng . Tính tổng .

A. 1.            B. 2.

C. 3.            D. 4.

Câu 15:        Tập nghiệm của bất phương trình 

Câu 16:        Bất phương trình  có tập nghiệm là  khi và chỉ khi

Câu 17:       Bất phương trình  có tập nghiệm là

Câu 18:        Cho tam thức bậc hai  có . Gọi  là hai nghiệm phân biệt của . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.  luôn cùng dấu với hệ số a khi .

B.  luôn cùng dấu với hệ số a khi 

C.  luôn âm với mọi 

D.  luôn dương với mọi 

Câu 19:        Bảng xét dấu sau là của biểu thức nào?

Câu 20:       Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Câu 21:        Cho các mệnh đề

(I) với mọi  thì .

(II) với mọi  thì .

(III) với mọi  thì .

A. Mệnh đề (I),(III) đúng.         

B. Chỉ mệnh đề (I) đúng.

C. Chỉ mệnh đề (III) đúng.        

D. Cả ba mệnh đề đều sai.

Câu 22:        Bất phương trình có tập nghiệm  là

Câu 23:        Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?

Câu 24:        Với x thuộc tập nào dưới đây thì  không dương

Câu 25:       Tổng bình phương các nghiệm nguyên của bất phương trình  là

A. 5.            B. 2.  

C. 0   .         D. 1.

Câu 26:        Tập nghiệm của hệ 

Câu 27:       Bất phương trình  có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Nhiều hơn 2 nhưng hữu hạn

Câu 28:         Tìm m để mọi  đều là nghiệm của bất phương trình 

Câu 29:       Tìm m để  luôn dương với mọi x.

Câu 30:  Tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 31:        Tập nghiệm của bất phương trình  là:

Câu 32:        Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc của bất phương trình 

A. 2.            B. 12

C. 0.            D. 5.

Câu 33:       Tập nghiệm của bất phương trình  là

Câu 34:         Cho tam giác ABC có   Cạnh BC bằng

Câu 35:       Cho tam giác ABC có . Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Câu 36:       Cho tam giác ABC có  và hai đường trung tuyến  vuông góc với nhau. Diện tích tam giác ABC là:.

Câu 37:       Cho  có , bán kính đường tròn ngoại tiếp là . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 38:       Cho tam giác ABC có , M là trung điểm của BC. Độ dài trung tuyến AM bằng:

Câu 39:       Cho tam giác ABC có  và diện tích bằng 64. Tính ?

Câu 40:        Cho tam giác ABC có . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

Câu 41:        Với các số đo trên hình vẽ sau, chiều cao h của tháp nghiêng Pisa gần với giá trị nào nhất?

Câu 42:       Cho đường thẳng  có phương trình . Trong các điểm sau đây điểm nào không thuộc 

Câu 43:        Trong mặt phẳng , đường thẳng  có môt véc tơ chỉ phương là

A.  . B. .        

C. . D. .

Câu 44:       Cho đường thẳng . Vectơ nào sau đây không phải vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. .        

C. . D. .

Câu 45:       Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm  và  là

Câu 46:         Đường thẳng đi qua M(2,0), song song với đường thẳng  có phương trình tổng quát là

A.  B. .  

C. . D. .

Câu 47:        Cho tam giác ABC có . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là

A. . B. .      

C. . D. .

Câu 48:  Cho tam giác ABC có trực tâm H(1,1), phương trình cạnh , phương trình cạnh  thì phương trình cạnh BC là

Câu 49:       Cho đường thẳng  có phương trình có phương trình . Biết  thì tọa độ điểm M là:

A. M(-1,-3).           B. M(3,1).   

C. M(3,-3).            D. M(1,3).

Câu 50:        Cho  và đường thẳng , điểm  sao cho tam giác ABC cân ở C. Tọa độ của điểm C là

A. C(0,3).              B. C(-2,5).   

C. C(-2,-1)  .         D. C(1,1).

II. Đáp án và thang điểm

A. Bảng đáp án: 0,2 x 50 = 10 điểm

B. Lời giải chi tiết

Câu 1:         Tập xác định của hàm số  là

A. . B. .        

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .

Câu 2:          Phương trình  có nghiệm duy nhất khi:

Lời giải

Chọn A

Phương trình xác định khi

Câu 3:         Với giá trị nào của m thì phương trình  có hai nghiệm ?

Lời giải

Chọn A

Phương trình có hai nghiệm  khi

Câu 4:          Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 3.            B. 2.  

C. 1.            D. 0.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định .

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương

Đối chiếu điều kiện ta có là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Câu 5:         Tập nghiệm của phương trình:  là

Lời giải

Chọn C

PT 

Vậy tập nghiệm phương trình là .

Câu 6:          Phương trình  có bao nhiêu nghiệm?

A. 2.            B. 1.  

C. 0.            D. Vô số.

Lời giải

Chọn C

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Câu 7:          Tính tổng các nghiệm của phương trình 

A. 4.            B. 3.  

C. 5.            D. 1.

Lời giải

Chọn D

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: -1+3=2

Câu 8:         Tích các nghiệm của phương trình  là:

A. 2.            B. 3.  

C. 0.            D. 1.

Lời giải

Chọn D.

Xét phương trình:

nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện và có tích là .

Câu 9:          Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau

Lời giải

Chọn D

Ta có , suy ra khẳng định D sai.

Câu 10:       Tìm điều kiện của bất phương trình .

Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định của BPT: .

Câu 11:        Hệ bất phương trình  có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Lời giải

Chọn A

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi .

Câu 12:                 Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào?

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Thay x=-2 lần lượt vào phương án A,B,C,D thì phương án C là đúng.

Cách 2:

Câu 13:        Cho nhị thức bậc nhất . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

Lời giải

Chọn D

Nhị thức bậc nhất  có nghiệm  và hệ số , suy ra  và .

Câu 14:       Tập nghiệm của bất phương trình có dạng . Tính tổng .

A. 1.            B. 2.

C. 3.            D. 4.

Lời giải

Chọn D

Câu 15:        Tập nghiệm của bất phương trình 

Lời giải

Chọn A

.

Vậy .

Câu 16:        Bất phương trình  có tập nghiệm là R khi và chỉ khi

A. . B. .    

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

+ Với  thì  có tập nghiệm , đáp án A sai.

+ Với  thì  có tập nghiệm , đáp án B đúng.

+ Với  thì  có tập nghiệm , đáp án C sai.

+ Với  thì  vô nghiệm, đáp án D sai.

Câu 17:       Bất phương trình  có tập nghiệm là

A. . B. .      

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có dấu của bất phương trình  cũng là dấu của bất phương trình 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .

Câu 18:        Cho tam thức bậc hai  có . Gọi  là hai nghiệm phân biệt của . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.   luôn cùng dấu với hệ số a khi .

B.  luôn cùng dấu với hệ số a khi hoặc.

C.   luôn âm với mọi

D.   luôn dương với mọi

Lời giải

Chọn B

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Câu 19:        Bảng xét dấu sau là của biểu thức nào?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Câu 20:       Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.  là tam thức bậc hai.      

B.  là tam thức bậc hai.

C.  là tam thức bậc hai.        

D.  là tam thức bậc hai.

Lời giải

Chọn A

Câu 21:        Cho các mệnh đề

 (I)với mọi   thì .

(II) với mọi thì .

(III) với mọi  thì .

A. Mệnh đề (I) ,(III) đúng.       B. Chỉ mệnh đề (I) đúng.

C. Chỉ mệnh đề (III) đúng.       D. Cả ba mệnh đề đều sai.

Lời giải

Chọn A

Ta có . Vậy  (I)đúng.

. Vậy  sai.

. Vậy  đúng.

Câu 22:        Bất phương trình có tập nghiệm  là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Xét đáp án A: 

Ta thấy ,  và  với mọi .

 Tập nghiệm của bất phương trình là .

Xét đáp án B: 

 Tập nghiệm của bất phương trình là .

 Xét đáp án C:

 Tập nghiệm của bất phương trình là .

 Xét đáp án D: .

Tập nghiệm của bất phương trình là 

Câu 23:        Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của ?

A. . B. .

 C. . D. .

Lời giải

Chọn D

.

Suy ra . Do đó .

Câu 24:        Với  x thuộc tập nào dưới đây thì   không dương

A. . B. .      

C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Có 

Vậy .

Câu 25:       Tổng bình phương các nghiệm nguyên của bất phương trình  là

A. 5.     B. 2.     C.0 .      D.1 .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Trục xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là 

Tổng bình phương các nghiệm nguyên bất phương trình là: .

Câu 26:        Tập nghiệm của hệ 

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Câu 27:       Bất phương trình  có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 0.     B.1 .

C.2 .     D. Nhiều hơn 2 nhưng hữu hạn

Lời giải

Chọn A

Đặt .

Khi đó bất phương trình trở thành 

 Vô nghiệm.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 28:         Tìm m  để mọi  đều là nghiệm của bất phương trình 

A. . B. .      

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

+) 

Với m=1 bất phương trình có dạng. Do đó m=1 không thoả mãn.

Với m=-1  bất phương trình có dạng. Do đó m=-1 là một giá trị cần tìm.

+) . Khi đó vế trái là tam thức bậc hai có  nên

tam thức luôn có 2 nghiệm .

Suy ra mọi  đều là nghiệm của bất phương trình  khi và chỉ khi

Từ đó suy ra .

Câu 29:       Tìm m để   luôn dương với mọi x.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Nhận thấy  với mọi m nên  là một tam thức bậc 2.

Để  .

Câu 30:       Tập nghiệm của bất phương trình là

A. . B. .  

 C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:.

Câu 31:        Tập nghiệm của bất phương trình  là:

A. . B. .  

 C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 

 không thỏa điều kiện.

Vậy .

Câu 32:        Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc của bất phương trình

A. 2.         B.12     

C. 0.       D. 5.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: 

.

- Nếu , bất phương trình đúng.

- Nếu ,

Mà .

Nên .

Do đó tổng tất cả các nghiệm nguyên thuộc của bất phương trình là: .

Câu 33:       Tập nghiệm của bất phương trình  là

A. .

 B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Bất phương trình: .

Điều kiện: .

Bất phương trình tương đương: .

+ Với  không thỏa mãn.

+ Với , ta có:

 hoặc .

Suy ra .

+ Với , ta có:(*) 

 , đúng với

Suy ra .

Vậy bất phương trình có tập nghiệm .

Câu 34:         Cho tam giác  có  Cạnh  bằng

A. . B. 

 C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC, ta có:

Câu 35:       Cho tam giácABC có . Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC .

A. . B. .  

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Do.

như hình vẽ.

Áp dụng hệ quả ĐL cosin cho tam giác ABC ta có: 

.

Khi đó: 

.

Mà

 .

Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có: 

.

Câu 36:       Cho tam giác ABC có ; và hai đường trung tuyến BM ,CN  vuông góc với nhau. Diện tích tam giác ABC là:.

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Trong tam giác ABC  với ; , .

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM,CN  vuông góc với nhau khi và chỉ khi .

Mặt khác theo định lí cô sin trong tam giác, ta có .

Từ (1)và (2) suy ra 

.

Diện tích tam giác

.

Chứng minh bài toán: Tam giác  ABC có hai đường trung tuyến BM ,CN  vuông góc với nhau khi và chỉ khi .

Ta có:.

Tương tự, ta có  .

Do 

Câu 37:       Cho  có , bán kính đường tròn ngoại tiếp là . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. . B. .      

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Theo định lý sin ta có: .

Từ công thức  nên phương án A sai.

Từ công thức  nên phương án B đúng.

Từ công thức  nên phương án C đúng.

Từ công thức  nên phương án D đúng.

Câu 38:       Cho tam giác ABC có  , M là trung điểm của BC. Độ dài trung tuyến AM bằng:

A.5 .               B. .    

C.25  .            D. .

Lời giải

Chọn A

Trong tam giác ABC  ta có, .

Câu 39:       Cho tam giác ABC có ,  và diện tích bằng 64. Tính SinA ?

A. . B. .        

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức tính diện tích : .

Câu 40:        Cho tam giác ABC có . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

A. 2.             B. .        

C. .         D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt , .

Diện tích tam giác ABC bằng .

Bán kính đường tròn nội tiếp .

Câu 41:        Với các số đo trên hình vẽ sau, chiều cao  của tháp nghiêng Pisa gần với giá trị nào nhất?

A.8.              B. 7.5.        

C. 6.5.         D.7.

Lời giải

Chọn D

Xét tam giác ABC ta có: .

Lại có: 

Xét tam giác CAD vuông tại C có: .

Câu 42:       Cho đường thẳng  có phương trình . Trong các điểm sau đây điểm nào không thuộc 

A.   .        B. .   

C. .            D. .

Lời giải

Chọn B

Với thay  vào phương trình  ta có:

Với thay  vào phương trình  ta có:

Với thay  vào phương trình  ta có:

Với thay  vào phương trình  ta có:

Câu 43:        Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  có môt véc tơ chỉ phương là

A. .         B. 

C. .       D. .

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng  có một véc tơ chỉ phương là .

Câu 44:       Cho đường thẳng . Vectơ nào sau đây không phải vectơ pháp tuyến của ?

A. .       B. .        C. .       D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có, vectơ pháp tuyến của  có dạng  với K khác 0.

Đối chiếu các đáp án suy ra D sai.

Câu 45:       Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(3,-1) và B(-6,2) là

A. .      B. .        

C. .        D. .

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng AB  đi qua hai điểm  và  nên đường thẳng AB nhận  làm véc tơ chỉ phương hay nhận  làm véc tơ chỉ phương.

Vậy đường thẳng AB đi qua và nhận  làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là .

Câu 46:          Đường thẳng đi qua M(2,0), song song với đường thẳng  có phương trình tổng quát là

A. .    B. .    

C. .      D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi d là đường thẳng đi qua M(2,0) và song song với đường thẳng .

Đường thẳng  có VTCP , thì đường thẳng d có VTCP .

Suy ra đường thẳng d có VTPT .

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(2,0), VTPT  có dạng:

.

Câu 47:        Cho tam giác ABC có . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là

A. .     B. .       C. .     D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi M là trung điểm của cạnh .

.

Đường thẳng  đi qua điểm  nhận  làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

.

Câu 48:  Cho tam giác ABC có trực tâm H(1,1), phương trình cạnh , phương trình cạnh  thì phương trình cạnh BC là

A. .  B. .

C. .  D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có đường thẳng  nên phương trình đường thẳng .

.

Ta có  nên tọa độ của  là nghiệm của hệ .

Đường thẳng BC đi qua điểm B nhận  là VTPT có phương trình .

Câu 49:       Cho đường thẳng d1 có phương trình  và d2 có phương trình . Biết  thì tọa độ điểm M là:

A. .       B. .    

C.   .        D. .

Lời giải

Chọn D

Do  nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

Câu 50:        Cho  và đường thẳng , điểm  sao cho tam giác ABC cân ở C. Tọa độ của điểm C là

A. C(0,3).    B. C(-2,5).   C. C(-2,-1). D. C(1,1).

Lời giải

Chọn C

.

Do tam giác ABC cân ở C nên 

.

Suy ra C(-2,-1).