Bài 7 trang 45 SBT Toán 10 Tập 2: Chọn 4 trong số 3 học sinh nam và 5 học sinh nữ tham gia một cuộc thi.

a) Nếu chọn 2 nam và 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn?

b) Nếu trong số học sinh được chọn nhất thiết phải có học sinh nam A và học sinh nữ B thì có bao nhiêu cách chọn?

c) Nếu phải có ít nhất một trong hai học sinh A và B được chọn, thì có bao nhiêu cách chọn?

d) Nếu trong 4 học sinh được chọn phải có cả học sinh nam và học sinh nữ thì có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

a) Số cách chọn 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ tham dự một kì thi gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 2 nam có ${\text{C}}_3^2$ cách chọn 2 trong số 3 học sinh nam.

Công đoạn 2: Ứng với 2 bạn nam được chọn, cách chọn 2 bạn nữ là ${\text{C}}_5^2$ cách chọn 2 trong số 5 học sinh nữ.

Áp dụng quy tắc nhân ta có ${\text{C}}_3^2$.${\text{C}}_5^2$ = 3.10 = 30 cách chọn 2 nam và 2 nữ.

b) Trong 4 học sinh có hai học sinh là A và B, ta chọn tiếp 2 trong 6 học sinh còn lại. Vậy có ${\text{C}}_6^2$ = 15 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.

c) Chia thành 3 phương án: chỉ có A, chỉ có B, có cả A và B.

Phương án 1: Trong 4 học sinh chỉ có A không có B. Sau khi chọn A, ta chọn tiếp 3 trong 6 học sinh còn lại không có B. Có ${\text{C}}_6^3$ cách chọn.

Phương án 2: Trong 4 học sinh chỉ có B không có A. Sau khi chọn B, ta chọn tiếp 3 trong 6 học sinh còn lại không có A. Có ${\text{C}}_6^3$ cách chọn.

Phương án 3: Trong 4 học sinh có cả A và B. Sau khi chọn A và B, ta chọn tiếp 2 trong 6 học sinh còn lại. Có ${\text{C}}_6^2$ = 15 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có  = 20 + 20 + 15 = 55 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.

d) Chia thành 3 phương án: có 1 học sinh nam, có 2 học sinh nam, có 3 học sinh nam.

Phương án 1: Trong 4 học sinh có 1 học sinh nam. Có 3 cách chọn 1 trong 3 học sinh nam và ${\text{C}}_5^3$ cách chọn 3 trong 5 học sinh nữ. Có 3.${\text{C}}_5^3$ cách chọn.

Phương án 2: Trong 4 học sinh có 2 học sinh nam. Có ${\text{C}}_3^2$ cách chọn 2 trong 3 học sinh nam và ${\text{C}}_5^2$ cách chọn 2 trong 5 học sinh nữ. Có ${\text{C}}_3^2$.${\text{C}}_5^2$ cách chọn.

Phương án 3: Trong 4 học sinh có 3 học sinh nam. Có 1 cách chọn 3 học sinh nam và 5 cách chọn 1 trong 5 học sinh nữ. Có 5 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng ta có + 5 = 3.10 + 3.10 + 5 = 65 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.