b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M,N,P sao cho $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$ , $\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$ ,$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{A\text{}N},\overrightarrow{AM}$  theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho $AB=3AM,CD=2CN$  và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích các vectơ $\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AG}$ qua các véc tơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$

b) Phân tích các vectơ $\overrightarrow{GC},\overrightarrow{MN}$  qua các véc tơ $\overrightarrow{GA}$  và $\overrightarrow{GB}$

Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM=3CM, trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN=5MN. G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Phân tích các vectơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BN}$  qua các véc tơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$

 c) Gọi I là điểm thỏa: $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{CM}$ . Chứng minh I,A,N thẳng hàng     

b) Hãy phân tích $\overrightarrow{CM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN}$  qua các véc tơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$ .

A.  $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$                               

Cho tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ .

 a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}$

b) Nếu $\alpha +\beta +\gamma =0$  thì không tồn tại điểm N sao cho $\alpha \overrightarrow{NA}+\beta \overrightarrow{NB}+\gamma \overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}.$

Cho tam giác ABC và ba số thực $\alpha ,\beta ,\gamma$  không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:

a) Nếu $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$  thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Tìm điểm M sao cho $a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức sau thỏa mãn với mọi M

 $a)\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MI}$

A. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1

Cho trước hai điểm A, B và hai số thực $\alpha$ , $\beta$ thoả mãn  $\alpha +\beta \ne 0.$  Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn  $\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.$

Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha +\beta )\overrightarrow{MI}.$

Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M,N,P sao cho

Cho tam giác ABC vuông tại A. I là trung điểm của đường cao AH. Chứng minh rằng : $a^2\overrightarrow{IA}+b^2\overrightarrow{IB}+c^2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ .

Cho đa giác lồi $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$ ( $n\ge 3$  ); $\overrightarrow{e_i},1\le i\le n$  là vectơ đơn vị vuông góc với $\overrightarrow{A_i{A}_{i+1}}$  (xem $A_{n+1}\equiv A_1$ ) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng

  $A_1{A}_2\overrightarrow{e_1}+A_2{A}_3\overrightarrow{e_2}+\mathrm{...}+A_n{A}_1\overrightarrow{e_n}=\overrightarrow{0}$

 (định lý con nhím)

Cho tam giác ABC. M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng : $S_{MBC}\overrightarrow{MA}+S_{MCA}\text{.}\overrightarrow{MB}+S_{MAB}\overrightarrow{MC}\text{=}\overrightarrow{\text{0}}$

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a) $\left(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\right)\overrightarrow{IA}+\left(\cot \frac{C}{2}+\cot \frac{A}{2}\right)\overrightarrow{IB}+\left(\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}\right)\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của  n - 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n vectơ cho ở trên bằng vectơ không.

Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng?  

Cho hai hình bình hành ABCD và A'B'C'D' có chung đỉnh A. Chọn khẳng định đúng?

Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC. Chọn khẳng định đúng?

b) với M là trung điểm của BC

Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác. Chọn khẳng định đúng?

a) 

b) với O là điểm bất kỳ.

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$ .Chọn khẳng định đúng

a)

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$   

Cho tam giác ABC với AB=c, BC=a, CA=b và có trọng tâm G. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC,CA,AB

Chứng minh rằng $a^2.\overrightarrow{GD}+b^2.\overrightarrow{GE}+c^2.\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng?

a)  Khẳng định đúng là:

Cho hai tam giác ABC và $A_1{B}_1{C}_1$  có cùng trọng tâm G. Gọi $G_1,G_2,G_3$  lần lượt là trọng tâm tam giác $BC{A}_1,AB{C}_1,AC{B}_1$ . Chứng minh rằng $\overrightarrow{G{G}_1}+\overrightarrow{G{G}_2}+\overrightarrow{G{G}_3}=\overrightarrow{0}$