hi các bạn anibell

mình lại mất acc tiếp rồi

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN

MÔN: TOÁN CAO CẤP (NÂNG CAO & CHUYÊN SÂU)

Thời gian làm bài: 90 phút (Không sử dụng tài liệu)

PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH & ĐA THỨC (5,0 điểm)

Câu 1 (2,5 điểm).

Cho \(A\) và \(B\) là hai ma trận vuông thực cấp \(n\) thỏa mãn hệ thức:

\(AB-BA=A\)

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(k\), ta luôn có \(A^k B - B A^k = k A^k\).

2. Từ đó, chứng minh rằng ma trận \(A\) là một ma trận lũy linh (tức là tồn tại số nguyên dương m sao cho \(A^m = 0\)).

Câu 2 (2,5 điểm).

Xét không gian vectơ \(V = \mathbb{R}_n[x]\) gồm tất cả các đa thức hệ số thực có bậc không quá \(n\). Gọi \(f: V \to V\) là một phép biến đổi tuyến tính được xác định bởi:

\(f(P(x))=P(x+1)-P(x)\)

1. Tìm hạt nhân \(\text{Ker}(f)\) và ảnh \(\text{Im}(f)\) của phép biến đổi tuyến tính này.

2. Tìm ma trận của \(f\) đối với cơ sở chính tắc \(\{1, x, x^2, \dots, x^n\}\) của \(V\) và chỉ ra rằng \(f\) không chéo hóa được với \(n \ge 1\).

PHẦN II: GIẢI TÍCH CẤP ĐỘ CỰC HẠN (5,0 điểm)

Câu 3 (2,5 điểm).

Cho \(f: [0, 1] \to \mathbb{R}\) là một hàm số liên tục và có đạo hàm cấp hai liên tục trên \((0, 1)\) thỏa mãn \(f(0) = f(1) = 0\). Chứng minh rằng:

\(\max _{x\in [0,1]}|{}f(x)|{}\le \frac{1}{8}\max _{x\in [0,1]}|{}f^{\prime \prime }(x)|{}\)

(Gợi ý: Sử dụng công thức khai triển Taylor hoặc thiết lập hàm phụ bằng định lý Rolle).

Câu 4 (2,5 điểm).

Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số sau đây (Tích phân Dirichlet nâng cao):

\(I=\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}e^{-ax}\,dx\quad \text{với }a>0\)

Từ kết quả đó, bằng cách cho \(a \to 0^+\), hãy chứng minh và tính giá trị của tích phân kinh điển:

\(\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\,dx\)

HẾT

mn làm hộ mik đc ko 😆 

cảm ơn ạ!

Câu 1 (2,0 điểm).

Cho ma trận vuông cấp 3:

\(A=\left(\begin{matrix}1&0&0\\ 1&2&1\\ 1&0&1\end{matrix}\right)\)

1. Tìm đa thức đặc trưng và tất cả các trị riêng của ma trận \(A\).

2. Sử dụng định lý Cayley - Hamilton, hãy biểu diễn ma trận nghịch đảo \(A^{-1}\) và ma trận lũy thừa \(A^{10}\) thành đa thức bậc không quá 2 của \(A\).

Câu 2 (2,0 điểm).

Trong không gian các ma trận vuông cấp 2 (\(M_2[\mathbb{R}]\)), xét ánh xạ tuyến tính \(f: M_2[\mathbb{R}] \to M_2[\mathbb{R}]\) định nghĩa bởi:

\(f(X)=AX-XA\quad \text{với }A=\left(\begin{matrix}1&2\\ 0&2\end{matrix}\right)\)

1. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian hạt nhân \(\text{Ker}(f)\).

2. Xác định số chiều của không gian ảnh \(\text{Im}(f)\). Ánh xạ \(f\) có phải là một toàn cấu không? Tại sao?

Câu 3 (2,0 điểm).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y\) trên đường tròn có phương trình:

\(x^{2}+y^{2}=5\)

Câu 4 (2,0 điểm).

Tính tích phân kép:

\(I=\iint _{D}\ln (x^{2}+y^{2})\,dxdy\)

Trong đó \(D\) là miền phẳng nằm ở góc phần tư thứ nhất (\(x \ge 0, y \ge 0\)) và được giới hạn bởi hai đường tròn \(x^2 + y^2 = 1\) và \(x^2 + y^2 = e^2\).

Câu 5 (2,0 điểm).

Tính thông lượng của trường vectơ \(\vec{F} = (x, y, z)\) đi qua phía ngoài của mặt cầu \(S: x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) (\(a > 0\)), tức là tính tích phân mặt loại 2:

\(J=\iint _{S}x\,dydz+y\,dzdx+z\,dxdy\) 

làm hộ mik đề này:))

how can cities reduce traffic congestion according to the passage

thành phần hóa học chủ yếu tạo nên thành tế bào của thực vật là gì?

A.Peptidoglycan

B.Cholesterol

viet một bài văn kể về nột trải nghiệm đáng nhớ của em

phân tích thơ thu vịnh

bài văn phân tích tác phẩm văn học chợ đồng

Chế độ dinh dưỡng của cơ thể người phụ thuộc vào những yếu tố nào

B. mọi giá trị \(x \in \mathbb{Z}.\)

Cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 2x + m\) và parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\,,\) số nguyên \(m\) nhỏ nhất để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt là

Khoảng cách giữa hai điểm \(M\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right)\) và \(N\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) được tính công thức:

\(MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} .\)

Áp dụng: Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = \frac{1}{2}{x^2}\) cắt đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + \frac{3}{2}\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B.\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng

A. \(4\sqrt 2 .\)

B. \(5\sqrt 3 .\)

C. \(4.\)

D. \(2\sqrt 2 .\)

Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị là \(\left( P \right).\) Đường thẳng đi qua hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \( - 1\) và \(2\) là

A. \(y = - x + 2.\)

B. \(y = x + 2.\)

C. \(y = - x - 2.\)

D. \(y = x - 2.\)

Đồ thị của hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. \(y = 4{x^2}.\)

B. \[y = \frac{1}{2}{x^2}.\]

C. \(y = \frac{1}{4}{x^2}.\)

D. \(y = 2{x^2}.\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) biết điểm có hoành độ bằng 1 là một điểm chung của parabol \(y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x - 2,\) với \(m\) là tham số. Khi đó giá trị của \(m.\)

A. \(m = 1.\)

B. \(m = 5.\)

C. \(m = 2.\)

D. \(m = 3.\)

I. Nhận biết

Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi

A. \(m < - 2.\)

B. \(m \le - 2.\)

C. \(m > - 2.\)

D. \(m \ge - 2.\)

Cho hàm số \(y = - 2{x^2}\) có đồ thị là \(\left( P \right).\) Tọa độ các điểm thuộc \(\left( P \right)\) có tung độ bằng \( - 6\) là

A. \(\left( {\sqrt 3 ;\, - 6} \right);\,\,\left( { - \sqrt 3 ;\, - 6} \right).\)

B. \(\left( { - 6;\,\sqrt 3 } \right);\,\,\left( { - 6;\, - \sqrt 3 } \right).\)

C. \(\left( {\sqrt 3 ;\, - 6} \right).\)

D. \(\left( { - 72; - 6} \right).\)

Để vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) cần xác định các điểm nào sau đây?

A. \(\left( { - 4;\,\, - 4} \right);\,\,\left( { - 2;\,\, - 1} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( {2;\,\, - 1} \right);\,\,\left( {4;\,\, - 4} \right).\)

B. \(\left( { - 4;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 2;\,\, - 1} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( {2;\,\, - 1} \right);\,\,\left( {4;\,\, - 4} \right).\)

C. \(\left( { - 4;\,\, - 4} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,1} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( {2;\,\, - 1} \right);\,\,\left( {4;\,\, - 4} \right).\)

D. \(\left( { - 4;\,\, - 4} \right);\,\,\left( {2;\,\, - 1} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( {2;\,\,1} \right);\,\,\left( {4;\,\, - 4} \right).\)

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) có đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,3} \right).\) Khi đó giá trị của \[m\] tương ứng là

A. \(m = - 1.\)

B. \(m = 1.\)

C. \(m = 0.\)

D. \(m = 2.\)

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\,?\)

A. \(\left( { - 1\,;\, - 3} \right).\)

B. \[\left( {4\,;\,\,12} \right).\]

C. \(\left( { - 2\,;\,\, - 6} \right).\)

D. \(\left( {1\,;\,\,3} \right).\)

Cho đồ thị của một hàm số bậc hai sau:

Hệ số \(a\) của đồ thị hàm số bậc hai này là

A. \(a = - 1.\)

B. \[a = 1.\]

C. \(a < 0.\)

D. \(a > 0.\)

Điểm đối xứng với điểm \(\left( {x;y} \right)\) qua trục \(Oy\)là

A. \(\left( {0;0} \right).\)

B. \(\left( { - x;y} \right).\)

C. \(\left( {x;y} \right).\)

D. \[\left( {x; - y} \right).\]

Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)?\)

A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

B. Với \(a < 0\) thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm cao nhất của đồ thị.

C. Với \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm cao nhất của đồ thị.

D. Với \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm thấp nhất của đồ thị.