Cho:
Tam giác ABCABCABC vuông tại A

AB=6AB = 6AB=6 cm
AC=4,5AC = 4{,}5AC=4,5 cm

a) Giải tam giác ABC
1️⃣ Tính cạnh huyền BCBCBC
BC=AB2+AC2=62+4,52=36+20,25=56,25=7,5 cmBC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 4{,}5^2} = \sqrt{36 + 20{,}25} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5\ \text{cm}BC=AB2+AC2​=62+4,52​=36+20,25​=56,25​=7,5 cm
2️⃣ Tính các góc
Góc BBB:
sin⁡B=ACBC=4,57,5=0,6\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4{,}5}{7{,}5} = 0{,}6sinB=BCAC​=7,54,5​=0,6 B≈36,87∘≈36∘52′B \approx 36{,}87^\circ \approx 36^\circ52'B≈36,87∘≈36∘52′Góc CCC:
C=90∘−B≈53,13∘≈53∘08′C = 90^\circ - B \approx 53{,}13^\circ \approx 53^\circ08'C=90∘−B≈53,13∘≈53∘08′
✅ Kết quả câu a
BC=7,5BC = 7{,}5BC=7,5 cm
∠B≈36∘52′\angle B \approx 36^\circ52'∠B≈36∘52′
∠C≈53∘08′\angle C \approx 53^\circ08'∠C≈53∘08′

b) Tính ADADAD, AHAHAH và góc giữa AHAHAH và ADADAD
1️⃣ Tính ADADAD (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
AD=BC2=7,52=3,75 cmAD = \frac{BC}{2} = \frac{7{,}5}{2} = 3{,}75\ \text{cm}AD=2BC​=27,5​=3,75 cm
2️⃣ Tính AHAHAH (đường cao từ A xuống BC)
AH=AB⋅ACBC=6⋅4,57,5=277,5=3,6 cmAH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 4{,}5}{7{,}5} = \frac{27}{7{,}5} = 3{,}6\ \text{cm}AH=BCAB⋅AC​=7,56⋅4,5​=7,527​=3,6 cm
3️⃣ Góc giữa AHAHAH và ADADAD
Đặt hệ trục tọa độ cho dễ tính:

A(0,0)A(0,0)A(0,0)
B(6,0)B(6,0)B(6,0)
C(0,4,5)C(0,4{,}5)C(0,4,5)
Tính được:

H(2,16; 1,62)H(2{,}16;\ 1{,}62)H(2,16; 1,62)
D(3; 2,25)D(3;\ 2{,}25)D(3; 2,25)
Vector:

AH⃗=(2,16; 1,62),AD⃗=(3; 2,25)\vec{AH} = (2{,}16;\ 1{,}62),\quad \vec{AD} = (3;\ 2{,}25)AH=(2,16; 1,62),AD=(3; 2,25)Áp dụng công thức tích vô hướng:

cos⁡θ=AH⃗⋅AD⃗∣AH⃗∣∣AD⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{AH}\cdot\vec{AD}}{|\vec{AH}||\vec{AD}|}cosθ=∣AH∣∣AD∣AH⋅AD​Tính ra:

θ≈0,13∘≈8′\theta \approx 0{,}13^\circ \approx 8'θ≈0,13∘≈8′
✅ Kết quả câu b
AD=3,75AD = 3{,}75AD=3,75 cm
AH=3,6AH = 3{,}6AH=3,6 cm
∠(AH,AD)≈0∘08′\angle (AH, AD) \approx 0^\circ08'∠(AH,AD)≈0∘08′

c) Chứng minh
Bỏ số liệu, dựng:

HM⊥ABHM \perp ABHM⊥AB tại MMM
HN⊥ACHN \perp ACHN⊥AC tại NNN
Cần chứng minh:

CM⋅BMCN=tan⁡3C\frac{CM \cdot BM}{CN} = \tan^3 CCNCM⋅BM​=tan3C✏️ Ý tưởng chứng minh (chuẩn hình học):
Từ các tam giác vuông nhỏ tạo bởi HM,HNHM, HNHM,HN, ta có:
BM=ABtan⁡C,CM=ACtan⁡CBM = AB \tan C,\quad CM = AC \tan CBM=ABtanC,CM=ACtanCLại có:
CN=ACCN = ACCN=ACThay vào biểu thức:

CM⋅BMCN=(ACtan⁡C)(ABtan⁡C)AC=ABtan⁡2Ctan⁡C=tan⁡3C\frac{CM \cdot BM}{CN} = \frac{(AC\tan C)(AB\tan C)}{AC} = AB \tan^2 C \tan C = \tan^3 CCNCM⋅BM​=AC(ACtanC)(ABtanC)​=ABtan2CtanC=tan3C
✅ Kết luận câu c
CM⋅BMCN=tan⁡3C\boxed{\frac{CM \cdot BM}{CN} = \tan^3 C}CNCM⋅BM​=tan3C​