Vì MNPQ là hình thang cân (\(MN \parallel PQ\)) nên hai góc kề một đáy bằng nhau và hai góc kề một cạnh bên có tổng bằng \(180^{\circ }\).

Tính góc \(\^{P}\): \(\hat{P} = \hat{Q} = \mathbf{65^\circ}\) (hai góc kề đáy \(PQ\)).

Tính góc \(\^{M}\): Vì \(MN \parallel PQ\) nên \(\hat{M} + \hat{Q} = 180^\circ\) (hai góc trong cùng phía).
\(\^{M}=180^{\circ }-65^{\circ }=\mathbf{115}^{\mathbf{\circ }}\)

Tính góc \(\^{N}\): \(\hat{N} = \hat{M} = \mathbf{115^\circ}\) (hai góc kề đáy \(MN\)).

Kết luận: \(\hat{M} = 115^\circ\), \(\hat{N} = 115^\circ\), \(\hat{P} = 65^\circ\), \(\hat{Q} = 65^\circ\).

Bài 2

Vì EFGH là hình thang cân (\(EF \parallel GH\)) nên:

Tính góc \(\^{F}\): \(\hat{F} = \hat{E} = \mathbf{115^\circ}\) (hai góc kề đáy \(EF\)).

Tính góc \(\^{H}\): Vì \(EF \parallel GH\) nên \(\hat{H} + \hat{E} = 180^\circ\) (hai góc trong cùng phía).
\(\^{H}=180^{\circ }-115^{\circ }=\mathbf{65}^{\mathbf{\circ }}\)

Tính góc \(\^{G}\): \(\hat{G} = \hat{H} = \mathbf{65^\circ}\) (hai góc kề đáy \(GH\)).

Kết luận: \(\hat{F} = 115^\circ\), \(\hat{G} = 65^\circ\), \(\hat{H} = 65^\circ\).

Bài 3

Xét hình thang \(PQRS\) (\(PQ \parallel RS\)) có \(PQ = PS\) và \(\widehat{PQS} = 35^\circ\):

Tính góc \(\^{P}\) và góc \(\widehat{PSQ}\):
Tam giác \(PQS\) có \(PQ = PS\) nên \(\triangle PQS\) cân tại \(P\).
\(\Rightarrow \widehat{PSQ}=\widehat{PQS}=35^{\circ }\)
Trong \(\triangle PQS\): \(\hat{P} = 180^\circ - (\widehat{PQS} + \widehat{PSQ}) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = \mathbf{110^\circ}\).

Tính góc \(\^{S}\):
Vì \(PQ \parallel RS\) nên \(\widehat{QSR} = \widehat{PQS} = 35^\circ\) (hai góc so le trong).
\(\Rightarrow \^{S}=\widehat{PSQ}+\widehat{QSR}=35^{\circ }+35^{\circ }=\mathbf{70}^{\mathbf{\circ }}\)

Lưu ý: Vì đề bài không cho biết \(PQRS\) là hình thang cân nên vị trí điểm \(R\) có thể thay đổi, dẫn đến góc \(\^{Q}\) và \(\^{R}\) chưa cố định. Tuy nhiên, thông thường các bài toán dạng này trong sách hay bị gõ thiếu chữ "cân".

Nếu bổ sung \(PQRS\) là hình thang cân, ta dễ dàng tính được hai góc còn lại:
\(\^{Q}=\^{P}=\mathbf{110}^{\mathbf{\circ }}\quad \text{và}\quad \^{R}=\^{S}=\mathbf{70}^{\mathbf{\circ }}\)

Bài 4

Một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau (\(AD = BC\)) sẽ xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: ABCD là hình thang cân

Hai góc kề một đáy bằng nhau: \(\hat{A} = \hat{B} = \mathbf{100^\circ}\).

Hai góc kề cạnh bên bù nhau: \(\hat{D} = 180^\circ - \hat{A} = 180^\circ - 100^\circ = \mathbf{80^\circ}\).

Góc còn lại: \(\hat{C} = \hat{D} = \mathbf{80^\circ}\).

Trường hợp 2: ABCD là hình bình hành (khi hai cạnh bên \(AD \parallel BC\))

Các góc đối bằng nhau:
\(\^{D}=\^{B}=\mathbf{100}^{\mathbf{\circ }}\)

Hai góc kề một cạnh bù nhau:
\(\^{A}=180^{\circ }-\^{B}=180^{\circ }-100^{\circ }=\mathbf{80}^{\mathbf{\circ }}\)
\(\^{C}=\^{A}=\mathbf{80}^{\mathbf{\circ }}\)