a) Tính số cặp góc đối đỉnh tạo bởi n đường thẳng phân biệt

Số góc bẹt:

$n$ đường thẳng phân biệt cùng đi qua $1$ điểm sẽ tạo ra $2n$ tia chung gốc.
Số góc bẹt (không kể góc bẹt) hay chính xác hơn là tổng số các góc đơn và ghép được tạo thành:

Mỗi đường thẳng cho $1$ góc bẹt, do đó $n$ đường thẳng tạo ra $2n$ góc nhỏ chung gốc xung quanh điểm đó.
Tổng số góc (không tính góc bẹt):

Số góc tạo bởi $2n$ tia là: $\frac{2n(2n-1)}{2} = n(2n-1)$ (góc).
Do có $n$ góc bẹt (mỗi đường thẳng là $1$ góc bẹt), số góc không phải là góc bẹt bằng:

$n(2n-1) - n = 2n^2 - 2n = 2n(n-1) \text{ (góc)}$
Số cặp góc đối đỉnh:

Cứ $2$ góc tạo thành $1$ cặp góc đối đỉnh (mỗi góc có đúng $1$ góc đối đỉnh với nó).
Vậy số cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) là:

$\frac{2n(n-1)}{2} = n(n-1) \text{ (cặp)}$
Công thức tổng quát: Cho $n$ đường thẳng phân biệt cùng đi qua $1$ điểm thì số cặp góc đối đỉnh (không tính góc bẹt) tạo thành là $n(n-1)$ cặp.
b) Tìm số đường thẳng $n$ khi biết có 180 cặp góc đối đỉnh

Áp dụng công thức ở câu a, ta có:

$n(n - 1) = 180$
Vì $n$ và $n-1$ là hai số tự nhiên liên tiếp, ta phân tích $180$:

$180 = 14 \times 13 \text{ (Loại)}$
$180 = 11 \times 10 \text{ (Loại)}$
$180 = 14 \times 13 = 182 \implies 180 = 13.4... \text{ (Không đúng)}$
Thử tích của hai số tự nhiên liên tiếp:

$13 \times 12 = 156$
$14 \times 13 = 182$
Do $n(n-1)$ luôn là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, mà $13 \times 12 = 156 < 180 < 182 = 14 \times 13$, nên không có số tự nhiên $n$ nào thỏa mãn $n(n-1) = 180$.

(Lưu ý: Nếu đề bài cho 182 cặp góc đối đỉnh thì $n = 14$; hoặc nếu cho 156 cặp thì $n = 13$. Với dữ kiện 180 cặp, hình vẽ không thể tạo từ số đường thẳng nguyên).

$\color{red}{\mathcal{CristianoRonaldo}}$