Để chứng minh hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh góc bẹt (\(180^{\circ }\)).

1. Hình vẽ minh họa và Giả thiết - Kết luận
Giả thiết:Hai đường thẳng \(xx^{\prime }\) và \(yy^{\prime }\) cắt nhau tại \(O\), tạo thành hai góc đối đỉnh là \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\).
Tia \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).
Tia \(Ot^{\prime }\) là tia phân giác của \(\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\).

Kết luận: \(Ot\) và \(Ot^{\prime }\) là hai tia đối nhau (tức là \(\widehat{tOt'} = 180^\circ\)).

2. Các bước chứng minh chi tiết
Bước 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của góc thứ nhất
Vì \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) nên:
\(\widehat{xOt}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}\)
Bước 2: Sử dụng tính chất tia phân giác của góc đối đỉnh
Vì \(Ot^{\prime }\) là tia phân giác của \(\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\) nên:
\(\widehat{x^{\prime }Ot^{\prime }}=\frac{1}{2}\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\)
Bước 3: Mối quan hệ giữa hai góc đối đỉnh
Vì \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\) là hai góc đối đỉnh nên chúng bằng nhau:
\(\widehat{xOy}=\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\)
Từ ba điều trên, ta suy ra được hai góc phân giác nhỏ cũng bằng nhau:
\(\widehat{xOt}=\widehat{x^{\prime }Ot^{\prime }}\)
Bước 4: Tính tổng góc tạo bởi hai tia phân giác
Ta có \(Ox\) và \(Ox^{\prime }\) là hai tia đối nhau (do đường thẳng \(xx^{\prime }\) cắt \(yy^{\prime }\) tại \(O\)), nên \(\widehat{xOx'} = 180^\circ\).
Tia \(Ot^{\prime }\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Ox^{\prime }\), nên ta có thể cộng góc:
\(\widehat{xOt^{\prime }}+\widehat{x^{\prime }Ot^{\prime }}=180^{\circ }\)Thay \(\widehat{x'Ot'} = \widehat{xOt}\) (đã chứng minh ở Bước 3) vào đẳng thức trên, ta được:
\(\widehat{xOt^{\prime }}+\widehat{xOt}=180^{\circ }\)
Bước 5: Kết luận
Vì \(\widehat{xOt'} + \widehat{xOt} = 180^\circ\) và hai góc này kề nhau (có cạnh chung là \(Ox\)), nên hai tia \(Ot\) và \(Ot^{\prime }\) tạo thành một góc bẹt.Vậy, \(Ot\) và \(Ot^{\prime }\) là hai tia đối nhau (đpcm).

Để chứng minh hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh góc bẹt (\(180^{\circ }\)).

1. Hình vẽ minh họa và Giả thiết - Kết luận
Giả thiết:Hai đường thẳng \(xx^{\prime }\) và \(yy^{\prime }\) cắt nhau tại \(O\), tạo thành hai góc đối đỉnh là \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\).
Tia \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).
Tia \(Ot^{\prime }\) là tia phân giác của \(\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\).

Kết luận: \(Ot\) và \(Ot^{\prime }\) là hai tia đối nhau (tức là \(\widehat{tOt'} = 180^\circ\)).

2. Các bước chứng minh chi tiết
Bước 1: Sử dụng tính chất tia phân giác của góc thứ nhất
Vì \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) nên:
\(\widehat{xOt}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}\)
Bước 2: Sử dụng tính chất tia phân giác của góc đối đỉnh
Vì \(Ot^{\prime }\) là tia phân giác của \(\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\) nên:
\(\widehat{x^{\prime }Ot^{\prime }}=\frac{1}{2}\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\)
Bước 3: Mối quan hệ giữa hai góc đối đỉnh
Vì \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\) là hai góc đối đỉnh nên chúng bằng nhau:
\(\widehat{xOy}=\widehat{x^{\prime }Oy^{\prime }}\)
Từ ba điều trên, ta suy ra được hai góc phân giác nhỏ cũng bằng nhau:
\(\widehat{xOt}=\widehat{x^{\prime }Ot^{\prime }}\)
Bước 4: Tính tổng góc tạo bởi hai tia phân giác
Ta có \(Ox\) và \(Ox^{\prime }\) là hai tia đối nhau (do đường thẳng \(xx^{\prime }\) cắt \(yy^{\prime }\) tại \(O\)), nên \(\widehat{xOx'} = 180^\circ\).
Tia \(Ot^{\prime }\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Ox^{\prime }\), nên ta có thể cộng góc:
\(\widehat{xOt^{\prime }}+\widehat{x^{\prime }Ot^{\prime }}=180^{\circ }\)Thay \(\widehat{x'Ot'} = \widehat{xOt}\) (đã chứng minh ở Bước 3) vào đẳng thức trên, ta được:
\(\widehat{xOt^{\prime }}+\widehat{xOt}=180^{\circ }\)
Bước 5: Kết luận
Vì \(\widehat{xOt'} + \widehat{xOt} = 180^\circ\) và hai góc này kề nhau (có cạnh chung là \(Ox\)), nên hai tia \(Ot\) và \(Ot^{\prime }\) tạo thành một góc bẹt.Vậy, \(Ot\) và \(Ot^{\prime }\) là hai tia đối nhau (đpcm).