Biểu thức đầy đủ của bài toán này là:
$\frac{5}{6 \times 9} + \frac{5}{9 \times 12} + \frac{5}{12 \times 15} + \dots + \frac{5}{42 \times 45}$
Kết quả cuối cùng của phép tính là $\frac{13}{54}$.
📊 Biểu đồ xu hướng tổng từng phần
Biểu đồ dưới đây thể hiện sự hội tụ của tổng các số hạng khi số lượng số hạng tăng lên, dần tiến về kết quả cuối cùng:

📝 Các bước giải chi tiết
Đây là dạng toán phương pháp sai phân (tách phân số để triệt tiêu).
 
Tìm quy luật của mẫu số: 
Hiệu hai thừa số ở mẫu luôn bằng 3 (9 - 6 = 3, 12 - 9 = 3,...).
Áp dụng công thức tách phân số: $\frac{1}{n \times (n+d)} = \frac{1}{d} \times \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+d}\right)$.

Tách từng phân số: 
Rút thừa số $\frac{5}{3}$ ra ngoài làm nhân tử chung:
$\frac{5}{6 \times 9} = \frac{5}{3} \times \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{9}\right)$
$\frac{5}{9 \times 12} = \frac{5}{3} \times \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{12}\right)$

Viết lại biểu thức:
$S = \frac{5}{3} \times \left[ \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{12}\right) + \dots + \left(\frac{1}{42} - \frac{1}{45}\right) \right]$
Triệt tiêu các số hạng đối nhau: 
Các phân số ở giữa sẽ tự động triệt tiêu lẫn nhau.
Chỉ còn lại phân số đầu tiên và phân số cuối cùng:
$S = \frac{5}{3} \times \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{45} \right)$

Tính toán kết quả: 
Quy đồng mẫu số trong ngoặc: $\frac{1}{6} - \frac{1}{45} = \frac{15}{90} - \frac{2}{90} = \frac{13}{90}$.
Nhân với hệ số bên ngoài: $S = \frac{5}{3} \times \frac{13}{90} = \frac{13}{54}$.