Để chứng minh bất đẳng thức:
$A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 \quad (\text{với } n \ge 2)$
Ta sử dụng phương pháp làm trội theo các bước dưới đây:
1. Nhận xét tổng quát
Với mọi số tự nhiên $k \ge 2$, ta luôn có:
$k^2 > k \cdot (k - 1)$
Nghịch đảo hai vế sẽ làm đổi chiều bất đẳng thức:
$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k \cdot (k - 1)}$
2. Tách phân số thành hiệu
Ta có công thức biến đổi quen thuộc:
$\frac{1}{k \cdot (k - 1)} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$
Từ đó suy ra bất đẳng thức bắc cầu:
$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$
3. Áp dụng vào từng số hạng của dãy
Thay lần lượt các giá trị của $k$ từ $2$ đến $n$:
 
$\frac{1}{2^2} < \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3^2} < \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{4^2} < \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
$\dots$
$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

4. Cộng vế theo vế
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên lại với nhau:
$A < \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$
Khi mở ngoặc, các phân số đối nhau ở giữa sẽ triệt tiêu hoàn toàn:
$A < 1 - \frac{1}{n}$
5. Kết luận
Vì $n \ge 2$ nên phân số $\frac{1}{n}$ luôn lớn hơn $0$.
Do đó:
$1 - \frac{1}{n} < 1$
Theo tính chất bắc cầu, ta có điều phải chứng minh:
$A < 1$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số nguyên dương $n \ge 2$:

$S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1$
Để chứng minh điều này, ta sử dụng phương pháp làm trội mẫu số. Nhận xét rằng với mọi số nguyên tự nhiên $k \ge 2$, ta có bất đẳng thức:

$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$
Áp dụng bất đẳng thức trên cho từng số hạng từ $\frac{1}{2^2}$ đến $\frac{1}{n^2}$, ta được:

$\frac{1}{2^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{3^2} < \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{4^2} < \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

$\dots$

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên lại, ta có dạng tổng thu gọn (tổng sai phân):

$S < \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$
Triệt tiêu các số hạng đối nhau ở giữa, ta còn lại:

$S < 1 - \frac{1}{n}$
Vì $n \ge 2$ nên $\frac{1}{n} > 0$, do đó:

$1 - \frac{1}{n} < 1$
Vậy:

$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1$
(Điều phải chứng minh).