Câu 1. (3,0 điểm)
Cho biểu thức \(A = \frac{12n+1}{2n+3}\) (với \(n \in \mathbb{Z}\)). Tìm giá trị của \(n\) để:
a) \(A\) là một phân số.
b) \(A\) là một số nguyên. [1, 2]

Lời giải:
a) Để \(A\) là một phân số:
Điều kiện để một biểu thức là phân số là tử số và mẫu số phải là các số nguyên, đồng thời mẫu số phải khác \(0\).
Vì \(n \in \mathbb{Z}\) nên \(12n+1 \in \mathbb{Z}\) và \(2n+3 \in \mathbb{Z}\).
Ta cần: \(2n + 3 \neq 0 \Rightarrow 2n \neq -3 \Rightarrow n \neq -\frac{3}{2}\).
Vì \(n\) là số nguyên nên \(n \neq -\frac{3}{2}\) luôn đúng với mọi \(n\).
Kết luận: \(A\) là phân số với mọi số nguyên \(n\). [1, 2]

b) Để \(A\) là một số nguyên:
Ta biến đổi biểu thức \(A\) như sau:
\(A=\frac{12n+1}{2n+3}=\frac{6(2n+3)-17}{2n+3}=\frac{6(2n+3)}{2n+3}-\frac{17}{2n+3}=6-\frac{17}{2n+3}\)
Để \(A \in \mathbb{Z}\) thì \(\frac{17}{2n+3} \in \mathbb{Z}\), hay \(17 \,\,\vdots\,\, (2n+3)\).
Do đó, \(2n+3\) phải là ước của \(17\). Ta có \(\text{Ư}(17) = \{1; -1; 17; -17\}\).
Ta lập bảng giá trị sau: [1, 2]

\(2n+3\)
\(1\)
\(-1\)
\(17\)
\(-17\)

\(2n\)
\(-2\)
\(-4\)
\(14\)
\(-20\)

\(n\)
\(-1\)
\(-2\)
\(7\)
\(-10\)

Kết luận: Để \(A\) là số nguyên thì \(n \in \{-10; -2; -1; 7\}\). [1]

Câu 2. (4,0 điểm)
a) Không quy đồng hãy tính tổng sau:
\(A=\frac{-1}{20}+\frac{-1}{30}+\frac{-1}{42}+\frac{-1}{56}+\frac{-1}{72}+\frac{-1}{90}\)

Lời giải:
Đặt dấu trừ ra ngoài làm nhân tử chung:
\(A=-\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}\right)\)
Tách các mẫu số thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
\(A=-\left(\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 10}\right)\)
Sử dụng công thức \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\):
\(A=-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots +\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\right)\)
\(A=-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{10}\right)=-\left(\frac{5}{20}-\frac{2}{20}\right)=-\frac{3}{20}\)
Kết luận: \(A = -\frac{3}{20}\). [1, 2]

b) So sánh \(P\) và \(Q\), biết:
\(P=\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}\quad \text{và}\quad Q=\frac{2010+2011+2012}{2011+2012+2013}\)

Lời giải:
Ta có thể tách phân số \(Q\) thành tổng các phân số cùng mẫu như sau:
\(Q=\frac{2010}{2011+2012+2013}+\frac{2011}{2011+2012+2013}+\frac{2012}{2011+2012+2013}\)
So sánh từng số hạng của \(P\) với từng số hạng tương ứng của \(Q\) (phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn):
\(\frac{2010}{2011}>\frac{2010}{2011+2012+2013}\)
\(\frac{2011}{2012}>\frac{2011}{2011+2012+2013}\)
\(\frac{2012}{2013}>\frac{2012}{2011+2012+2013}\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\(\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}>\frac{2010+2011+2012}{2011+2012+2013}\)
Kết luận: \(P > Q\). [1, 2]

Câu 3. (3,0 điểm): Tìm x, biết:
a) \((7x - 11)^3 = 2^5 \cdot 5^2 + 200\) [1, 2]

Lời giải:
Tính giá trị vế phải trước:
\((7x-11)^{3}=32\cdot 25+200\)
\((7x-11)^{3}=800+200\)
\((7x-11)^{3}=1000\)
Đưa số \(1000\) về dạng lũy thừa bậc 3:
\((7x-11)^{3}=10^{3}\)
\(7x-11=10\)
\(7x=10+11\)
\(7x=21\)
\(x=21:7=3\)
Kết luận: \(x = 3\). [1, 2]

b) \(3\frac{1}{3}x + 16\frac{3}{4} = -13,25\) [1, 2]

Lời giải:
Đổi các hỗn số và số thập phân sang phân số:
\(\frac{10}{3}x+\frac{67}{4}=-\frac{53}{4}\)
Chuyển vế để tìm biểu thức chứa \(x\):
\(\frac{10}{3}x=-\frac{53}{4}-\frac{67}{4}\)
\(\frac{10}{3}x=\frac{-53-67}{4}\)
\(\frac{10}{3}x=\frac{-120}{4}\)
\(\frac{10}{3}x=-30\)
Tìm \(x\) bằng cách chia cho hệ số:
\(x=-30:\frac{10}{3}\)
\(x=-30\cdot \frac{3}{10}\)
\(x=-9\)
Kết luận: \(x = -9\). [1, 2, 3, 4]

Câu 1. (3,0 điểm)
Cho biểu thức A=12n+12n+3 (với n∈Z). Tìm giá trị của n để:
a) A là một phân số.
b) A là một số nguyên. [1, 2]

Lời giải:
a) Để A là một phân số:
Điều kiện để một biểu thức là phân số là tử số và mẫu số phải là các số nguyên, đồng thời mẫu số phải khác 0.
Vì n∈Z nên 12n+1∈Z và 2n+3∈Z.
Ta cần: 2n+3≠0⇒2n≠−3⇒n≠−32.
Vì n là số nguyên nên n≠−32 luôn đúng với mọi n.
Kết luận: A là phân số với mọi số nguyên n. [1, 2]

b) Để A là một số nguyên:
Ta biến đổi biểu thức A như sau:
A=12n+12n+3=6(2n+3)−172n+3=6(2n+3)2n+3−172n+3=6−172n+3
Để A∈Z thì 172n+3∈Z, hay 17⋮(2n+3).
Do đó, 2n+3 phải là ước của 17. Ta có Ư(17)={1;−1;17;−17}.
Ta lập bảng giá trị sau: [1, 2]

2n+3
1
−1
17
−17

2n
−2
−4
14
−20

n
−1
−2
7
−10

Kết luận: Để A là số nguyên thì n∈{−10;−2;−1;7}. [1]

Câu 2. (4,0 điểm)
a) Không quy đồng hãy tính tổng sau:
A=−120+−130+−142+−156+−172+−190

Lời giải:
Đặt dấu trừ ra ngoài làm nhân tử chung:
A=−(120+130+142+156+172+190)
Tách các mẫu số thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
A=−(14⋅5+15⋅6+16⋅7+17⋅8+18⋅9+19⋅10)
Sử dụng công thức 1k(k+1)=1k−1k+1:
A=−(14−15+15−16+⋯+19−110)
A=−(14−110)=−(520−220)=−320
Kết luận: A=−320. [1, 2]

b) So sánh P và Q, biết:
P=20102011+20112012+20122013vàQ=2010+2011+20122011+2012+2013

Lời giải:
Ta có thể tách phân số Q thành tổng các phân số cùng mẫu như sau:
Q=20102011+2012+2013+20112011+2012+2013+20122011+2012+2013
So sánh từng số hạng của P với từng số hạng tương ứng của Q (phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn):
20102011>20102011+2012+2013
20112012>20112011+2012+2013
20122013>20122011+2012+2013
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
20102011+20112012+20122013>2010+2011+20122011+2012+2013
Kết luận: P>Q. [1, 2]

Câu 3. (3,0 điểm): Tìm x, biết:
a) (7x−11)3=25⋅52+200 [1, 2]

Lời giải:
Tính giá trị vế phải trước:
(7x−11)3=32⋅25+200
(7x−11)3=800+200
(7x−11)3=1000
Đưa số 1000 về dạng lũy thừa bậc 3:
(7x−11)3=103
7x−11=10
7x=10+11
7x=21
x=21:7=3
Kết luận: x=3. [1, 2]

b) 313x+1634=−13,25 [1, 2]

Lời giải:
Đổi các hỗn số và số thập phân sang phân số:
103x+674=−534
Chuyển vế để tìm biểu thức chứa x:
103x=−534−674
103x=−53−674
103x=−1204
103x=−30
Tìm x bằng cách chia cho hệ số:
x=−30:103
x=−30⋅310
x=−9
Kết luận: x=−9. [1, 2, 3, 4]