1. Tìm tọa độ các điểm cực trị
Bước 1: Tính đạo hàm \(f'(x)\)
\(f^{\prime }(x)=-3x^{2}+6x+9\)
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\)
\(-3x^{2}+6x+9=0\iff x^{2}-2x-3=0\)
Phương trình có hai nghiệm:
\(x_1 = -1\)
\(x_2 = 3\)

Bước 3: Tính giá trị cực trị tương ứng
Với \(x = -1 \implies f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 4 = 1 + 3 - 9 - 4 = -9\)
Với \(x = 3 \implies f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 4 = -27 + 27 + 27 - 4 = 23\)

Bước 4: Xét dấu \(f'(x)\) và kết luận cực trị
Vì hệ số của \(x^{2}\) trong \(f'(x)\) là \(-3 < 0\), nên qua nghiệm \(x = -1\) đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương (đạt cực tiểu), và qua nghiệm \(x = 3\) đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm (đạt cực đại).
Điểm cực tiểu: \(A(-1; -9)\)
Điểm cực đại: \(B(3; 23)\)

2. Xác định số giao điểm với trục hoành (trục \(Ox\))
Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng chính số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
\(-x^{3}+3x^{2}+9x-4=0\)
Dựa vào quy tắc cực trị của hàm số bậc ba:
Giá trị cực tiểu: \(y_{CT} = -9 < 0\)
Giá trị cực đại: \(y_{CĐ} = 23 > 0\)

Tích hai giá trị cực trị là: \(y_{CT} \cdot y_{CĐ} = -9 \cdot 23 = -207 < 0\).
Vì tích hai giá trị cực trị trái dấu nhau (\(y_{CT} \cdot y_{CĐ} < 0\)), đồ thị hàm số bậc ba sẽ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.