Để chứng minh biểu thức đã cho là hợp số, ta sẽ chứng minh $a + 3b + 5c$ là một số chia hết cho $3$ và lớn hơn $3$.
1. Xét số dư modulo $3$
Ta xét số dư của các số chính phương khi chia cho $3$.
Một số nguyên bất kỳ khi chia cho $3$ chỉ có thể có số dư là $0, 1, 2$.
Do đó, bình phương của chúng chỉ có thể có số dư là $0$ hoặc $1$.
Nói cách khác, $a^2 \equiv 0, 1 \pmod 3$ và $b^2 \equiv 0, 1 \pmod 3$.
2. Chứng minh $a$ và $b$ chia hết cho $3$
Từ giả thiết, ta có phương trình:
$a^2 + b^2 = 3c^2$
Vế phải $3c^2$ luôn chia hết cho $3$.
Do đó, vế trái $a^2 + b^2$ cũng phải chia hết cho $3$.
$a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 3$
Dựa vào tính chất số dư ở bước 1, điều này chỉ xảy ra khi cả $a^2$ và $b^2$ đều chia hết cho $3$.
$\Rightarrow a^2 \equiv 0 \pmod 3 \text{ và } b^2 \equiv 0 \pmod 3$
Vì $3$ là số nguyên tố, ta suy ra $a$ và $b$ đều chia hết cho $3$.
3. Chứng minh $c$ chia hết cho $3$
Vì $a$ và $b$ chia hết cho $3$, ta có thể đặt:
$a = 3x \text{ và } b = 3y \quad (x, y \in \mathbb{N}^*)$
Thay vào phương trình ban đầu:
$(3x)^2 + (3y)^2 = 3c^2$
$9x^2 + 9y^2 = 3c^2$
$3(x^2 + y^2) = c^2$
Từ đây, ta thấy $c^2$ chia hết cho $3$.
Do đó, $c$ cũng phải chia hết cho $3$.
Ta đặt $c = 3z \quad (z \in \mathbb{N}^*)$.
4. Đánh giá biểu thức cần chứng minh
Xét biểu thức đề bài yêu cầu:
$A = a + 3b + 5c$
Thay $a = 3x$, $b = 3y$, và $c = 3z$ vào biểu thức:
$A = 3x + 3(3y) + 5(3z)$
$A = 3x + 9y + 15z$
$A = 3(x + 3y + 5z)$
Vì $x, y, z \in \mathbb{N}^*$, ta có:
$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$
$\Rightarrow x + 3y + 5z \ge 1 + 3(1) + 5(1) = 9 > 1$
Do đó, $A$ là tích của $3$ và một số nguyên lớn hơn $1$.
Suy ra $A$ chia hết cho $3$ và $A \ge 27 > 3$.
Vì $A$ là số tự nhiên lớn hơn $3$ và chia hết cho $3$, $A$ chắc chắn là hợp số.
✅ Kết luận
Biểu thức $a + 3b + 5c$ luôn là một hợp số với mọi số tự nhiên dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Nếu bạn muốn mở rộng bài toán này sang các hệ số khác hoặc tìm hiểu thêm về phương trình Diophantine, hãy cho tôi biết nhé!