Giá trị của biểu thức \(B\) sau khi tính nhanh là \(\frac{6}{6517}\). [1]
(Lưu ý: Đề bài gốc đầy đủ trong các tài liệu Toán học thường viết số hạng thứ hai dưới dạng hỗn số là \(\frac{1}{1050} \times 3\frac{6516}{6517}\). Dưới đây là lời giải chi tiết theo bài toán chuẩn này). [1]

1. Đặt ẩn phụ
Để đơn giản hóa biểu thức, ta đặt các phân số lớn bằng các biến:
Đặt \(x = \frac{1}{3150}\)
Đặt \(y = \frac{1}{6517}\) [1]

Từ đó suy ra các đại lượng liên quan:
\(\frac{1}{1050} = \frac{3}{3150} = 3x\)
\(2\frac{1}{3150} = 2 + x\)
\(\frac{3}{6517} = 3y\)
\(3\frac{6516}{6517} = 3 + \frac{6516}{6517} = 3 + 1 - \frac{1}{6517} = 4 - y\)
\(\frac{4}{1050} = 4 \times 3x = 12x\)
\(\frac{6}{3150 \times 6517} = 6xy\)

2. Thay biến vào biểu thức
Thay các biến \(x\) và \(y\) vừa đặt vào biểu thức \(B\), ta được:
\(B=(2+x)\cdot 3y-3x\cdot (4-y)+12x-6xy\)

3. Thu gọn biểu thức
Khai triển và nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:
\(B=6y+3xy-12x+3xy+12x-6xy\)
\(B=6y+(3xy+3xy-6xy)+(-12x+12x)\)
\(B=6y+0+0\)
\(B=6y\)

4. Thay số tính kết quả
Thay ngược lại giá trị \(y = \frac{1}{6517}\) vào biểu thức đã thu gọn:
\(B=6\cdot \frac{1}{6517}=\frac{6}{6517}\)

✅ Kết luận
Sau khi áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tính nhanh, ta thu được kết quả cuối cùng của biểu thức là \(B = \frac{6}{6517}\). [1]
 

Nhận xét quan trọng: \(3150 = 3 \times 1050 \Rightarrow \frac{1}{1050} = \frac{3}{3150}\).
Biến đổi biểu thức \(B\):
\(B=\left(2+\frac{1}{3150}\right)\cdot \frac{3}{6517}-\frac{1}{1050}\cdot \left(3+\frac{6516}{6517}\right)+\frac{4}{1050}-\frac{6}{3150\cdot 6517}\)
Nhân phá các ngoặc ra ta được:
\(B=\frac{6}{6517}+\frac{3}{3150\cdot 6517}-\frac{3}{1050}-\frac{6516}{1050\cdot 6517}+\frac{4}{1050}-\frac{6}{3150\cdot 6517}\)
Gom các hạng tử đồng dạng lại với nhau: [1]
Nhóm số 1: \(\frac{6}{6517}\)
Nhóm số 2 (Mẫu số \(3150 \cdot 6517\)): \(\frac{3}{3150 \cdot 6517} - \frac{6}{3150 \cdot 6517} = -\frac{3}{3150 \cdot 6517}\)
Nhóm số 3 (Mẫu số \(1050\)): \(\frac{4}{1050} - \frac{3}{1050} = \frac{1}{1050} = \frac{3}{3150}\)
Nhóm số 4: \(-\frac{6516}{1050 \cdot 6517} = -\frac{3 \cdot 6516}{3150 \cdot 6517}\)

Thay các nhóm vào lại biểu thức:
\(B=\frac{6}{6517}-\frac{3}{3150\cdot 6517}+\left(\frac{3}{3150}-\frac{3\cdot 6516}{3150\cdot 6517}\right)\)
Quy đồng hai phân số trong ngoặc đơn:
\(\frac{3}{3150}-\frac{3\cdot 6516}{3150\cdot 6517}=\frac{3\cdot 6517-3\cdot 6516}{3150\cdot 6517}=\frac{3\cdot (6517-6516)}{3150\cdot 6517}=\frac{3}{3150\cdot 6517}\)
Cuối cùng, ta cộng tất cả lại:
\(B=\frac{6}{6517}-\frac{3}{3150\cdot 6517}+\frac{3}{3150\cdot 6517}=\frac{6}{6517}\)