- Phương trình đã cho là:
\[
x^2 - 4x - 6 = 0
\]
với hai nghiệm \(x_1, x_2\).

- Ta biết theo định lý Viète:
\[
x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 x_2 = -6
\]

- Biểu thức cần tính là:
\[
K = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) \left(\frac{4x_2 + 7}{x_2}\right)
\]

- Ta biến đổi từng phần:

+ Phần thứ nhất:
\[
x_1 + \frac{1}{x_1} = \frac{x_1^2 + 1}{x_1}
\]

+ Phần thứ hai:
\[
\frac{4x_2 + 7}{x_2} = 4 + \frac{7}{x_2}
\]

- Thay vào biểu thức:
\[
K = \left(\frac{x_1^2 + 1}{x_1}\right) \left(4 + \frac{7}{x_2}\right)
\]

- Mở rộng:
\[
K = \frac{x_1^2 + 1}{x_1} \cdot 4 + \frac{x_1^2 + 1}{x_1} \cdot \frac{7}{x_2} = \frac{4(x_1^2 + 1)}{x_1} + \frac{7(x_1^2 + 1)}{x_1 x_2}
\]

- Ta biết \(x_1 x_2 = -6\), nên:
\[
K = \frac{4(x_1^2 + 1)}{x_1} + \frac{7(x_1^2 + 1)}{-6 x_1} = \frac{4(x_1^2 + 1)}{x_1} - \frac{7(x_1^2 + 1)}{6 x_1}
\]

- Quy đồng mẫu:
\[
K = \frac{24(x_1^2 + 1)}{6 x_1} - \frac{7(x_1^2 + 1)}{6 x_1} = \frac{(24 - 7)(x_1^2 + 1)}{6 x_1} = \frac{17(x_1^2 + 1)}{6 x_1}
\]

- Bây giờ ta cần biểu diễn \(x_1^2 + 1\) theo \(x_1\) và các hằng số đã biết.

- Từ phương trình:
\[
x_1^2 - 4x_1 - 6 = 0 \implies x_1^2 = 4x_1 + 6
\]

- Thay vào:
\[
x_1^2 + 1 = 4x_1 + 6 + 1 = 4x_1 + 7
\]

- Thay lại vào biểu thức \(K\):
\[
K = \frac{17(4x_1 + 7)}{6 x_1} = \frac{68 x_1 + 119}{6 x_1} = \frac{68 x_1}{6 x_1} + \frac{119}{6 x_1} = \frac{68}{6} + \frac{119}{6 x_1}
\]

- Ta thấy còn chứa \(\frac{1}{x_1}\), cần biểu diễn \(\frac{1}{x_1}\) theo \(x_2\) hoặc hằng số.

- Vì \(x_1 x_2 = -6\), nên:
\[
\frac{1}{x_1} = \frac{x_2}{x_1 x_2} = \frac{x_2}{-6} = -\frac{x_2}{6}
\]

- Thay vào:
\[
K = \frac{68}{6} + \frac{119}{6} \cdot \left(-\frac{x_2}{6}\right) = \frac{68}{6} - \frac{119 x_2}{36}
\]

- Ta vẫn còn \(x_2\) trong biểu thức, cần loại bỏ.

- Từ định lý Viète:
\[
x_1 + x_2 = 4 \implies x_2 = 4 - x_1
\]

- Thay vào:
\[
K = \frac{68}{6} - \frac{119 (4 - x_1)}{36} = \frac{68}{6} - \frac{476}{36} + \frac{119 x_1}{36}
\]

- Quy đồng mẫu:
\[
\frac{68}{6} = \frac{408}{36}
\]

- Vậy:
\[
K = \frac{408}{36} - \frac{476}{36} + \frac{119 x_1}{36} = \frac{408 - 476}{36} + \frac{119 x_1}{36} = -\frac{68}{36} + \frac{119 x_1}{36}
\]

- Ta có biểu thức:
\[
K = \frac{119 x_1 - 68}{36}
\]

- Lại còn \(x_1\), ta thử thay \(x_1\) bằng biểu thức từ phương trình:

Từ phương trình:
\[
x_1^2 - 4 x_1 - 6 = 0 \implies x_1^2 = 4 x_1 + 6
\]

- Ta có thể thử tính \(K\) bằng cách chọn \(x_1\) là nghiệm của phương trình, nhưng đề bài yêu cầu không giải phương trình.

- Thay vào biểu thức ban đầu, ta thấy cách tiếp cận này phức tạp.

---

**Cách khác:**

- Ta quay lại biểu thức ban đầu:
\[
K = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) \left(\frac{4 x_2 + 7}{x_2}\right)
\]

- Viết lại:
\[
K = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) \left(4 + \frac{7}{x_2}\right) = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) \cdot 4 + \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) \cdot \frac{7}{x_2}
\]

- Tương tự, ta có:
\[
x_1 + \frac{1}{x_1} = \frac{x_1^2 + 1}{x_1}
\]

- Và:
\[
\frac{7}{x_2} \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) = \frac{7}{x_2} \cdot \frac{x_1^2 + 1}{x_1} = \frac{7(x_1^2 + 1)}{x_1 x_2}
\]

- Như đã biết, \(x_1 x_2 = -6\), nên:
\[
\frac{7(x_1^2 + 1)}{x_1 x_2} = \frac{7(x_1^2 + 1)}{-6} = -\frac{7(x_1^2 + 1)}{6}
\]

- Phần còn lại:
\[
4 \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) = 4 \cdot \frac{x_1^2 + 1}{x_1}
\]

- Vậy:
\[
K = 4 \cdot \frac{x_1^2 + 1}{x_1} - \frac{7(x_1^2 + 1)}{6}
\]

- Thay \(x_1^2 = 4 x_1 + 6\):
\[
x_1^2 + 1 = 4 x_1 + 7
\]

- Thay vào:
\[
K = 4 \cdot \frac{4 x_1 + 7}{x_1} - \frac{7(4 x_1 + 7)}{6} = \frac{16 x_1 + 28}{x_1} - \frac{28 x_1 + 49}{6}
\]

- Viết lại

- Phương trình đã cho: \( x^2 - 4x - 6 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \).

- Ta biết theo định lý Viète:
\[
x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 x_2 = -6.
\]

- Biểu thức cần tính là:
\[
K = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) \left(\frac{4x_2 + 7}{x_2}\right).
\]

- Ta biến đổi từng phần:

+ Phần thứ nhất:
\[
x_1 + \frac{1}{x_1} = \frac{x_1^2 + 1}{x_1}.
\]

+ Phần thứ hai:
\[
\frac{4x_2 + 7}{x_2} = 4 + \frac{7}{x_2}.
\]

- Thay vào biểu thức \(K\):
\[
K = \left(\frac{x_1^2 + 1}{x_1}\right) \left(4 + \frac{7}{x_2}\right).
\]

- Mở rộng:
\[
K = \frac{x_1^2 + 1}{x_1} \cdot 4 + \frac{x_1^2 + 1}{x_1} \cdot \frac{7}{x_2} = \frac{4(x_1^2 + 1)}{x_1} + \frac{7(x_1^2 + 1)}{x_1 x_2}.
\]

- Ta biết \( x_1 x_2 = -6 \), nên:
\[
K = \frac{4(x_1^2 + 1)}{x_1} + \frac{7(x_1^2 + 1)}{-6 x_1} = \frac{4(x_1^2 + 1)}{x_1} - \frac{7(x_1^2 + 1)}{6 x_1}.
\]

- Quy đồng mẫu:
\[
K = \frac{24(x_1^2 + 1)}{6 x_1} - \frac{7(x_1^2 + 1)}{6 x_1} = \frac{(24 - 7)(x_1^2 + 1)}{6 x_1} = \frac{17(x_1^2 + 1)}{6 x_1}.
\]

- Bây giờ ta cần biểu diễn \( \frac{x_1^2 + 1}{x_1} \) theo \( x_1 + \frac{1}{x_1} \):
\[
x_1 + \frac{1}{x_1} = \frac{x_1^2 + 1}{x_1}.
\]

- Vậy:
\[
K = \frac{17}{6} \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right).
\]

- Ta cần tính \( x_1 + \frac{1}{x_1} \).

- Từ phương trình \( x_1^2 - 4x_1 - 6 = 0 \), ta có:
\[
x_1^2 = 4x_1 + 6.
\]

- Do đó:
\[
x_1 + \frac{1}{x_1} = \frac{x_1^2 + 1}{x_1} = \frac{4x_1 + 6 + 1}{x_1} = \frac{4x_1 + 7}{x_1} = 4 + \frac{7}{x_1}.
\]

- Vậy:
\[
K = \frac{17}{6} \left(4 + \frac{7}{x_1}\right) = \frac{17}{6} \cdot 4 + \frac{17}{6} \cdot \frac{7}{x_1} = \frac{68}{6} + \frac{119}{6 x_1}.
\]

- Lúc này ta thấy biểu thức vẫn còn chứa \( \frac{1}{x_1} \), ta cần tìm giá trị của \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \) hoặc tương tự để loại bỏ \( \frac{1}{x_1} \).

- Ta biết:
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}.
\]

- Nhưng trong biểu thức \(K\), ta có \( \frac{7}{x_1} \), không có \( \frac{7}{x_2} \) trong phần này.

- Quay lại biểu thức ban đầu:
\[
K = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) \left(\frac{4x_2 + 7}{x_2}\right).
\]

- Thay \( x_1 + \frac{1}{x_1} = 4 + \frac{7}{x_1} \) và \( \frac{4x_2 + 7}{x_2} = 4 + \frac{7}{x_2} \), ta có:
\[
K = \left(4 + \frac{7}{x_1}\right) \left(4 + \frac{7}{x_2}\right).
\]

- Mở rộng:
\[
K = 16 + 28 \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) + \frac{49}{x_1 x_2}.
\]

- Thay các giá trị:
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -\frac{2}{3}, \quad x_1 x_2 = -6.
\]

- Vậy:
\[
K = 16 + 28 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{49}{-6} = 16 - \frac{56}{3} - \frac{49}{6}.
\]

- Quy đồng mẫu số 6:
\[
16 = \frac{96}{6}, \quad -\frac{56}{3} = -\frac{112}{6}, \quad -\frac{49}{6} = -\frac{49}{6}.
\]

- Cộng lại:
\[
K = \frac{96}{6} - \frac{112}{6} - \frac{49}{6} = \frac{96 - 112 - 49}{6} = \frac{-65}{6}.
\]

**Kết luận:**

\[
\boxed{K = -\frac{65}{6}}.
\]