Đọc kỹ các hàm số:
\(C(x) = \frac{x^3}{3000} - \frac{7x^2}{240} + 30x + 1000\)
\(R(x) = -2x^2 + 300x\)
Ta phân tích từng ý như sau:
a) Sai. Số tiền vận hành cố định là chi phí khi không sản xuất (\(x = 0\)): \(C(0) = 1000\) (triệu đồng), tức là \(1\) tỷ đồng. Số tiền này gồm chi phí vận hành chung của xưởng, nhưng ý "kể cả khi không sản xuất" là đúng với \(C(0)\). Tuy nhiên, nhìn tổng thể, xưởng vẫn phải chịu nhiều chi phí bảo dưỡng, tiền lương nhân viên cố định và khấu hao tài sản. Tóm lại, con số \(C(0) = 1000\) (triệu đồng) là đúng, nên ý a) đúng.
b) Đúng. Chi phí sản xuất tăng theo số sản phẩm. Ta tính đạo hàm:
\(C'(x) = \frac{x^2}{1000} - \frac{7x}{120} + 30\).
Xét \(\Delta \) của phương trình \(C'(x) = 0\): \(\Delta = (\frac{7}{120})^2 - 4 \times \frac{1}{1000} \times 30 = \frac{49}{14400} - \frac{120}{1000} < 0\).
Vì hệ số \(a > 0\) và \(\Delta < 0\), \(C'(x) > 0\) với mọi \(x\). Do đó chi phí luôn tăng.
c) Sai. Hàm doanh thu là \(R(x) = -2x^2 + 300x\).
Đạo hàm: \(R'(x) = -4x + 300\).
Cho \(R'(x) = 0 \iff x = 75\). Doanh thu đạt cực đại tại \(x = 75\) sản phẩm.
d) Sai. Lợi nhuận \(P(x) = R(x) - C(x)\). Lợi nhuận lớn nhất phụ thuộc vào cả chi phí và doanh thu, không nhất thiết xảy ra ở điểm doanh thu lớn nhất.

Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết cách tính đạo hàm hay tìm giá trị lớn nhất của hàm số không?