Quảng cáo
3 câu trả lời 29
Ta cần chứng minh
A=5+52+53+⋯+599
chia hết cho 31.
Cách 1 (ngắn gọn)
Ta có
53=125=31⋅4+1.
Suy ra
53≡1(mod31).(1)
Chia tổng A thành các nhóm 3 số hạng:
A=(5+52+53)+(54+55+56)+⋯+(597+598+599).
Vì 99=3×33, nên có 33 nhóm.
Xét một nhóm bất kỳ:
53k+1+53k+2+53k+3=53k(5+25+125).
Theo (1),
53k≡1(mod31).
Lại có
5+25+125=155=31⋅5,
nên
53k(5+25+125)≡1⋅155≡0(mod31).
Vậy mỗi nhóm đều chia hết cho 31.
Do đó tổng của 33 nhóm cũng chia hết cho 31.
Suy ra
31∣(5+52+53+⋯+599).
Cách 2 (dùng công thức cấp số nhân)
Ta có
A=5+52+⋯+599=
Do
53≡1(mod31)
nên
599=(53)33≡133=1(mod31).
Suy ra
31∣(599−1).
Vì 31 không chia hết cho 4, nên
31∣ =A.
Do đó
A chia hết cho 31.
$A=5+5^2+5^3+\cdots+5^{99}$
$5^3=125\equiv1\pmod{31}$
$\Rightarrow5^{3k}\equiv1,\ 5^{3k+1}\equiv5,\ 5^{3k+2}\equiv25\pmod{31}$
$99=3\cdot33$
$A=(5+5^2+5^3)+(5^4+5^5+5^6)+\cdots+(5^{97}+5^{98}+5^{99})$
$A\equiv33(5+25+1)\pmod{31}$
$A\equiv33\cdot31\equiv0\pmod{31}$
$31\mid A$
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
Điền vào chỗ trống trong bảng thanh toán sau:
Số thứ tự Loại hàng Số lượng (quyển) Giá đơn vị (đồng) Tổng số tiền (đồng) 1 Vở loại 1 35 2000 ... 2 Vở loại 2 42 1500 ... 3 Vở loại 3 38 1200 ... Cộng: ... 172135 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
80059 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
64564 -
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
40861 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
36677 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
33431



