Giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = -1\) hoặc \(m = 4\).

Các bước giải chi tiết
Bước 1: Xác định điều kiện để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn
Bất phương trình đã cho có dạng:
\(x^{2}-(2m-1)x+2m-2\le 0\)
Do hệ số \(a = 1 > 0\), để tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn \([x_1; x_2]\) thì phương trình bậc hai tương ứng \(x^2 - (2m-1)x + 2m - 2 = 0\) bắt buộc phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\).
Tính biệt thức \(\Delta \):
\(\Delta =[-(2m-1)]^{2}-4(2m-2)\)
\(\Delta =4m^{2}-4m+1-8m+8=4m^{2}-12m+9=(2m-3)^{2}\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0 \implies (2m-3)^2 > 0 \implies m \neq \frac{3}{2}\).

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình
Khi đó, hai nghiệm của phương trình là:
\(x_1 = \frac{(2m-1) - (2m-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{(2m-1) + (2m-3)}{2} = \frac{4m-4}{2} = 2m-2\)

Tập nghiệm của bất phương trình là đoạn giữa hai nghiệm này.
Bước 3: Thiết lập phương trình độ dài đoạn nghiệm
Độ dài của đoạn nghiệm được tính bằng trị tuyệt đối hiệu giữa hai nghiệm:
\(|x_{1}-x_{2}|=5\)
\(\iff |1-(2m-2)|=5\)
\(\iff |3-2m|=5\)
Bước 4: Giải tìm \(m\)
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(3 - 2m = 5 \implies -2m = 2 \implies m = -1\) (Thỏa mãn \(m \neq \frac{3}{2}\))
Trường hợp 2: \(3 - 2m = -5 \implies -2m = -8 \implies m = 4\) (Thỏa mãn \(m \neq \frac{3}{2}\))

Kết luận
Các giá trị cần tìm là \(m = -1\) và \(m = 4\).