Cách giải ngắn gọn
Xét tổng vô hạn

T=$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}n}{3^n}$

Vì các số hạng

$\frac{n}{3^n}$

​giảm dần từ n=1 (thật vậy,

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{3n}$<1),

nên theo định lý Leibniz về chuỗi luân phiên:

Tổng riêng bậc chẵn luôn nhỏ hơn tổng vô hạn.
Do đó

S<T..
Tính tổng vô hạn
Ta có công thức quen thuộc

$\sum _{n=1}^{\infty }n x^n=\frac{x}{{\left(1-x\right)}^2}, \left|x\right|<1.$

Lấy

x=−$\frac{1}{3}$,

suy ra

$$\begin{gathered} \sum _{n=1}^{\infty }n {\left(-\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\left(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n}=-\frac{3}{16} \\ Vì \\ T=-\sum _{n=1}^{\infty }n {\left(-\frac{1}{3}\right)}^n \\ nên \\ T=\frac{3}{16} \\ Suy ra \\ S<T=\frac{3}{16} \\ Vậy \\ \frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}<\frac{3}{16} \end{gathered}$$

Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ tính tổng của dãy số hữu hạn ở vế trái.

Đặt $S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \dots + \frac{99}{3^{99}} - \frac{100}{3^{100}}$.

### Bước 1: Tính tổng $S$

Đây là tổng của một cấp số nhân có các hệ số là một cấp số cộng (dạng $a \cdot r^n$). Ta nhân $S$ với $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3^2} - \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} - \dots + \frac{99}{3^{100}} - \frac{100}{3^{101}}$

Trừ hai vế của phương trình ($S + \frac{1}{3}S$ hoặc $S - \frac{1}{3}S$):
Xét $S + \frac{1}{3}S$:

$S + \frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \left( -\frac{2}{3^2} + \frac{1}{3^2} \right) + \left( \frac{3}{3^3} - \frac{2}{3^3} \right) + \dots + \left( -\frac{100}{3^{100}} + \frac{99}{3^{100}} \right) - \frac{100}{3^{101}}$

$\frac{4}{3}S = \frac{1}{3} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} - \dots - \frac{1}{3^{100}} - \frac{100}{3^{101}}$

### Bước 2: Tính tổng cấp số nhân

Phần từ $\frac{1}{3} - \frac{1}{3^2} + \dots - \frac{1}{3^{100}}$ là một cấp số nhân với $u_1 = \frac{1}{3}$, công bội $q = -\frac{1}{3}$ và có $100$ số hạng.

Tổng này bằng:

$\frac{\frac{1}{3}\left(1 - (-\frac{1}{3})^{100}\right)}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^{100}})}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right)$

Thay vào phương trình trên:

$\frac{4}{3}S = \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right) - \frac{100}{3^{101}}$

$S = \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{100}} - \frac{100}{3^{101}} \right]$

$S = \frac{3}{16} - \frac{3}{16 \cdot 3^{100}} - \frac{300}{4 \cdot 3^{101}}$

### Bước 3: Kết luận

Từ biểu thức của $S$:

$S = \frac{3}{16} - \left( \frac{3}{16 \cdot 3^{100}} + \frac{75}{3^{101}} \right)$

Vì cả hai số hạng trong ngoặc đều là số dương, nên:

$S = \frac{3}{16} - (\text{một số dương}) < \frac{3}{16}$

Vậy ta đã chứng minh được **$S < \frac{3}{16}$**.

Bạn có cần hỗ trợ thêm về các bước biến đổi của chuỗi số này không?