1. Kẻ đường phụ quy chuẩn
Kẻ đoạn thẳng \(MI\) vuông góc với tia phân giác \(Oz\) tại điểm \(I\) (\(I \in Oz\)).
Kéo dài đường thẳng \(MI\) cắt hai cạnh \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\).

2. Chứng minh tam giác bằng nhau
Xét \(\triangle OIA\) vuông tại \(I\) và \(\triangle OIB\) vuông tại \(I\) có:
Cạnh chung \(OI\).
\(\widehat{AOI} = \widehat{BOI}\) vì \(Oz\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\). [1]

\(\Rightarrow \triangle OIA = \triangle OIB\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
\(\Rightarrow IA = IB\) và \(OA = OB\).
Xét \(\triangle MIA\) vuông tại \(I\) và \(\triangle MIB\) vuông tại \(I\) có:
Cạnh chung \(MI\).
\(IA = IB\) (chứng minh trên).

\(\Rightarrow \triangle MIA = \triangle MIB\) (hai cạnh góc vuông).
\(\Rightarrow MA = MB\) (hai cạnh tương ứng).

3. So sánh các đoạn thẳng
Vì điểm \(M\) nằm trong góc \(xOz\) nên điểm \(M\) nằm giữa \(I\) và \(A\).
Do đó, \(MA < IA + IM \Rightarrow MA < IB + IM \Rightarrow MA < MB\).

Trong tam giác vuông, đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên:
Xét \(\triangle MHA\) vuông tại \(H\): Ta có \(MH\) là đường vuông góc, \(MA\) là đường xiên \(\Rightarrow MH \leq MA\).
Xét \(\triangle MKB\) vuông tại \(K\): Ta có \(MK\) là đường vuông góc, \(MB\) là đường xiên \(\Rightarrow MK \leq MB\).

Do \(M\) nằm trong góc \(xOz\) nên \(M\) không thể nằm trên \(Ox\) hay đường thẳng vuông góc, dẫn đến các góc hình thành không trùng nhau. Kết hợp với điều kiện \(MA < MB\), ta suy ra:
\(MH<MK\)

  Kết luận
Đoạn thẳng \(MH\) luôn nhỏ hơn \(MK\) (\(MH < MK\)) do khoảng cách từ điểm \(M\) (thuộc nửa góc \(xOz\)) đến cạnh \(Ox\) gần hơn khoảng cách đến cạnh \(Oy\).

Để chứng minh \(MH < MK\), ta có thể sử dụng tính chất của tia phân giác và mối quan hệ giữa các đường thẳng song song như sau:

1. Hình vẽ minh họa & Các bước dựng hình phụ
Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(MH\) với tia phân giác \(Oz\).
Kẻ \(ED \perp Oy\) tại \(D\).
Gọi \(G\) là giao điểm của đường thẳng \(MH\) với đường thẳng \(Oy\).
Kẻ \(MF \parallel Oy\) (\(F\) thuộc đường thẳng \(ED\)).

2. Chứng minh cụ thể

Bước 1: So sánh \(MH\) và \(ED\)
Vì điểm \(M\) nằm trong góc \(xOz\) nên điểm \(M\) nằm giữa \(H\) và \(E\).
Suy ra:
\(MH<EH\quad (1)\)
Vì \(E\) nằm trên tia phân giác \(Oz\) của góc \(xOy\), mà \(EH \perp Ox\) và \(ED \perp Oy\) nên theo tính chất tia phân giác:
\(EH=ED\quad (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:
\(MH<ED\quad (3)\)

Bước 2: So sánh \(ED\) và \(MK\)
Vì tia \(Oz\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Oy\) nên giao điểm \(E\) nằm giữa \(H\) và \(G\).
Mà \(M\) nằm giữa \(H\) và \(E\), do đó điểm \(E\) phải nằm giữa \(M\) và \(G\) trên đường thẳng \(HG\).
Xét tứ giác \(MKDF\), ta có:\(MK \perp Oy\) (giả thiết) \(\Rightarrow \widehat{MKD} = 90^\circ\).
\(ED \perp Oy\) (cách vẽ) \(\Rightarrow \widehat{KDF} = 90^\circ\).
\(MF \parallel Oy\) (cách vẽ) mà \(ED \perp Oy \Rightarrow MF \perp ED \Rightarrow \widehat{MFD} = 90^\circ\).

Tứ giác \(MKDF\) có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra hai cạnh đối bằng nhau:
\(MK=FD\)
Vì \(MF \parallel Oy\) (hay \(MF \parallel DG\)) và điểm \(E\) nằm giữa \(M\) và \(G\), nên trên đường thẳng \(FD\), điểm \(E\) cũng sẽ nằm giữa \(F\) và \(D\).
Do \(E\) nằm giữa \(F\) và \(D\) nên:
\(FD=FE+ED\Rightarrow FD>ED\)
Mà \(MK = FD\), suy ra:
\(MK>ED\quad (4)\)

Bước 3: Kết luận
Từ \((3)\) và \((4)\) ta có: \(MH < ED\) và \(ED < MK\).
Theo tính chất bắc cầu:
\(MH<MK\quad \text{(đpcm)}\)