Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài toán thống kê của bạn:
Bài 1: Tính các đặc trưng đo lường của mẫu dữ liệu
Mẫu số liệu ban đầu: $27, 25, 20, 15, 30, 34, 28, 25$
Số phần tử trong mẫu: $n = 8$
Trước hết, ta sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần:
$15, 20, 25, 25, 27, 28, 30, 34$
`***`Trung bình (Mean - $\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{15 + 20 + 25 + 25 + 27 + 28 + 30 + 34}{8} = \frac{204}{8} = 25.5$
`***`Trung vị (Median - $M_e$):
Vì $n = 8$ (số chẵn), trung vị là trung bình cộng của 2 số chính giữa (vị trí thứ 4 và thứ 5):
$M_e = \frac{25 + 27}{2} = 26$
`***`Khoảng biến thiên (Range - $R$):
$R = \text{Giá trị lớn nhất} - \text{Giá trị nhỏ nhất} = 34 - 15 = 19$
`***`Độ trải giữa (Khoảng tứ phân vị - IQR):
Nửa dưới của dữ liệu: $15, 20, 25, 25 \rightarrow$ Tứ phân vị thứ nhất $Q_1 = \frac{20 + 25}{2} = 22.5$
Nửa trên của dữ liệu: $27, 28, 30, 34 \rightarrow$ Tứ phân vị thứ ba $Q_3 = \frac{28 + 30}{2} = 29$
$IQR = Q_3 - Q_1 = 29 - 22.5 = 6.5$
`***`Phương sai mẫu ($s^2$):
Áp dụng công thức tính phương sai mẫu hiệu chỉnh $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}$:
$\sum (x_i - 25.5)^2 = (15-25.5)^2 + (20-25.5)^2 + 2\times(25-25.5)^2 + (27-25.5)^2 + (28-25.5)^2 + (30-25.5)^2 + (34-25.5)^2$
$= 110.25 + 30.25 + 2\times(0.25) + 2.25 + 6.25 + 20.25 + 72.25 = 242$
$s^2 = \frac{242}{8 - 1} = \frac{242}{7} \approx 34.57$
`***`Độ lệch chuẩn mẫu ($s$):
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{34.57} \approx 5.88$
Kết quả Bài 1: Trung bình = 25.5; Trung vị = 26; Khoảng biến thiên = 19; Độ trải giữa = 6.5; Phương sai = 34.57; Độ lệch chuẩn = 5.88.
Bài 2: So sánh giá thuê xe giữa các thành phố phía Đông và phía Tây Hoa Kỳ
a. Tính toán cho các thành phố phía Đông
Mẫu số liệu: $43, 35, 34, 58, 30, 30, 36$ ($n = 7$)
`***`Trung bình phía Đông ($\bar{x}_{\text{Đông}}$):
$\bar{x}_{\text{Đông}} = \frac{43 + 35 + 34 + 58 + 30 + 30 + 36}{7} = \frac{266}{7} = 38 \text{ USD}$
`***`Phương sai mẫu phía Đông ($s^2_{\text{Đông}}$):
$\sum (x_i - 38)^2 = (43-38)^2 + (35-38)^2 + (34-38)^2 + (58-38)^2 + 2\times(30-38)^2 + (36-38)^2$
$= 25 + 9 + 16 + 400 + 2\times(64) + 4 = 582$
$s^2_{\text{Đông}} = \frac{582}{7 - 1} = \frac{582}{6} = 97$
`***`Độ lệch chuẩn mẫu phía Đông ($s_{\text{Đông}}$):
$s_{\text{Đông}} = \sqrt{97} \approx 9.85 \text{ USD}$
b. Thảo luận sự khác biệt
Bảng tổng hợp số liệu so sánh:

Thảo luận:
`***`Về mức giá trung bình: Giá thuê xe trung bình mỗi ngày ở cả hai khu vực phía Đông và phía Tây là bằng nhau (đều bằng 38 USD).
`***`Về mức độ biến động (độ phân tán): Phương sai và độ lệch chuẩn của các thành phố phía Đông ($s = 9.85$) cao hơn rất nhiều so với các thành phố phía Tây ($s = 3.50$). Điều này chứng tỏ giá thuê xe ở các thành phố phía Đông có sự chênh lệch lớn và biến động mạnh giữa các thành phố (ví dụ New York lên tới 58 USD nhưng Orlando chỉ có 30 USD). Ngược lại, giá thuê xe ở các thành phố phía Tây đồng đều và ổn định hơn, ít có sự chênh lệch lớn giữa các nơi.
Bài 3: Đánh giá thời gian giao hàng của hai công ty
Để biết công ty nào cung cấp thời gian giao hàng đều đặn và đáng tin cậy hơn, chúng ta cần đo lường mức độ biến động (độ phân tán) dữ liệu của họ thông qua độ lệch chuẩn ($s$) hoặc khoảng biến thiên ($R$). Công ty nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì thời gian giao hàng sẽ ổn định và đáng tin cậy hơn.
1. Công ty Dawson Supply:
Mẫu số liệu: $11, 10, 9, 10, 11, 11, 10, 11, 10, 10$ ($n = 10$)
`***`Trung bình: $\bar{x}_1 = \frac{103}{10} = 10.3$ ngày.
`***`Khoảng biến thiên: $R_1 = 11 - 9 = 2$ ngày.
`***`Phương sai: $s_1^2 = \frac{\sum (x_i - 10.3)^2}{9} = \frac{2.1}{9} \approx 0.233$
`***`Độ lệch chuẩn: $s_1 = \sqrt{0.233} \approx 0.48$ ngày.
2. Công ty J.C. Clark Distributors:
Mẫu số liệu: $8, 10, 13, 7, 10, 11, 10, 7, 15, 12$ ($n = 10$)
`***`Trung bình: $\bar{x}_2 = \frac{103}{10} = 10.3$ ngày.
`***`Khoảng biến thiên: $R_2 = 15 - 7 = 8$ ngày.
`***`Phương sai: $s_2^2 = \frac{\sum (x_i - 10.3)^2}{9} = \frac{58.1}{9} \approx 6.456$
`***`Độ lệch chuẩn: $s_2 = \sqrt{6.456} \approx 2.54$ ngày.
Kết luận:
     Mặc dù cả hai công ty đều có thời gian giao hàng trung bình bằng nhau (10.3 ngày), nhưng công ty Dawson Supply cung cấp thời gian giao hàng đều đặn và đáng tin cậy hơn hẳn.
    Lý do là vì độ lệch chuẩn của Dawson Supply ($s_1 \approx 0.48$ ngày) nhỏ hơn rất nhiều so với J.C. Clark Distributors ($s_2 \approx 2.54$ ngày). Khi mua hàng ở Dawson Supply, khách hàng có thể yên tâm hàng sẽ đến trong khoảng 9 đến 11 ngày; trong khi ở J.C. Clark, thời gian giao hàng rất thất thường, có lúc rất nhanh (7 ngày) nhưng có lúc phải chờ tới nửa tháng (15 ngày).