Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có:

$A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + . . . + \frac{1}{199.200}$

và

$B = \frac{1}{101.200} + \frac{1}{102.199} + . . . + \frac{1}{200.101}$

Tính A
Ta dùng:

\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

nên

\frac{1}{1.2} = 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{3.4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{5.6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}

...

Do đó

A = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{199}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{200})

Đặt

S=

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{200}

Ta có:

Tổng các số hạng lẻ:

1 $+ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{199}$

Tổng các số hạng chẵn:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{200} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + . . . + \frac{1}{100})

Suy ra:

A = S - 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{200})

không thuận tiện để tính trực tiếp. Ta chuyển sang xét B.

Tính B
Ta nhận thấy:

\frac{1}{k (301 - k)} = \frac{1}{301} (\frac{1}{k} + \frac{1}{301 - k})

Với k=101,102,…,200.

Do đó

$B = \frac{1}{301} \sum_{k = 101}^{200} (\frac{1}{k} + \frac{1}{301 - k})$

Mà khi k chạy từ 101 đến 200 thì 301−k chạy từ 200 đến 101.

Nên:

B= $\frac{2}{301} (\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + . . . + \frac{1}{200})$

Biến đổi A
Ta có:

$\frac{1}{(2 k - 1) (2 k)} = \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k}$

với k=1→100.

Suy ra

$A = \sum_{k = 1}^{100} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k})$

Mà

$\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} = \frac{1}{2 k (2 k - 1)}$

và

$\frac{1}{k} = \frac{1}{2 k - 1} + \frac{1}{2 k}$

nên suy ra sau khi cộng:

{2 \sum}_{k = 1}^{100} \frac{1}{2 k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k} + A

Từ đó:

A = \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k} - 2 \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{2 k} A = \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k} = 0

Điều này vô lý ⇒ ta cần cách khác đơn giản hơn.

Ta tính trực tiếp bằng công thức:

A= $\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{(2 k - 1) (2 k)} = \sum_{k = 1}^{100} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k})$

Còn:

B= $\sum_{k = 101}^{200} \frac{1}{K (301 - k)} = \frac{2}{301} \sum_{k = 101}^{200} \frac{1}{k}$

nên

$B = \frac{2}{301} A$

Do đó:

$\frac{A}{B} = \frac{301}{2}$

Vậy:

\frac{A}{B} = \frac{301}{2}

...Xem thêm

Answer 2

Ta có:

$A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + . . . + \frac{1}{199.200}$

và

$B = \frac{1}{101.200} + \frac{1}{102.199} + . . . + \frac{1}{200.101}$

Tính A
Ta dùng:

\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

nên

\frac{1}{1.2} = 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{3.4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{5.6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}

...

Do đó

A = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{199}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{200})

Đặt

S=

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{200}

Ta có:

Tổng các số hạng lẻ:

1 $+ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{199}$

Tổng các số hạng chẵn:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{200} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + . . . + \frac{1}{100})

Suy ra:

A = S - 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{200})

không thuận tiện để tính trực tiếp. Ta chuyển sang xét B.

Tính B
Ta nhận thấy:

\frac{1}{k (301 - k)} = \frac{1}{301} (\frac{1}{k} + \frac{1}{301 - k})

Với k=101,102,…,200.

Do đó

$B = \frac{1}{301} \sum_{k = 101}^{200} (\frac{1}{k} + \frac{1}{301 - k})$

Mà khi k chạy từ 101 đến 200 thì 301−k chạy từ 200 đến 101.

Nên:

B= $\frac{2}{301} (\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + . . . + \frac{1}{200})$

Biến đổi A
Ta có:

$\frac{1}{(2 k - 1) (2 k)} = \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k}$

với k=1→100.

Suy ra

$A = \sum_{k = 1}^{100} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k})$

Mà

$\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} = \frac{1}{2 k (2 k - 1)}$

và

$\frac{1}{k} = \frac{1}{2 k - 1} + \frac{1}{2 k}$

nên suy ra sau khi cộng:

{2 \sum}_{k = 1}^{100} \frac{1}{2 k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k} + A

Từ đó:

A = \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k} - 2 \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{2 k} A = \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k} = 0

Điều này vô lý ⇒ ta cần cách khác đơn giản hơn.

Ta tính trực tiếp bằng công thức:

A= $\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{(2 k - 1) (2 k)} = \sum_{k = 1}^{100} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k})$

Còn:

B= $\sum_{k = 101}^{200} \frac{1}{K (301 - k)} = \frac{2}{301} \sum_{k = 101}^{200} \frac{1}{k}$

nên

$B = \frac{2}{301} A$

Do đó:

$\frac{A}{B} = \frac{301}{2}$

Vậy:

\frac{A}{B} = \frac{301}{2}

Số thứ tự	Loại hàng	Số lượng (quyển)	Giá đơn vị (đồng)	Tổng số tiền (đồng)
1	Vở loại 1	35	2000	...
2	Vở loại 2	42	1500	...
3	Vở loại 3	38	1200	...
Cộng:				...

1 câu trả lời 69

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 6