Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + . . . + \frac{1}{100^{2}} < \frac{3}{4}$

Xét với mọi n≥2:

n²>n(n−1)

nên:

$\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n (n - 1)}$

Mà:

$\frac{1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Do đó:

$\frac{1}{2^{2}} + \frac{2}{3^{2}} + . . . + \frac{1}{100^{2}} < \sum_{n - 2}^{100} \frac{1}{n (n - 1)} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + . . . + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$

Các số hạng triệt tiêu nhau, còn:

$= 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

Cách này chưa đủ để nhỏ hơn $\frac{3}{4}$ , nên ta làm chặt hơn.

Ta tách:

$\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Với $n \geq 3 : n^{2} > 2 n (n - 1)$

nên: $\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{2 n (n - 1)}$

Suy ra:

$\sum_{n - 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n - 3}^{100} \frac{1}{n (n - 1)} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n - 3}^{100} (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{100}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{200} = \frac{1}{2} - \frac{1}{200} < \frac{3}{4}$

Vậy:

$\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + . . . + \frac{1}{100^{2}} < \frac{3}{4}$

...Xem thêm

Answer 2

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + . . . + \frac{1}{100^{2}} < \frac{3}{4}$

Xét với mọi n≥2:

n²>n(n−1)

nên:

$\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n (n - 1)}$

Mà:

$\frac{1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Do đó:

$\frac{1}{2^{2}} + \frac{2}{3^{2}} + . . . + \frac{1}{100^{2}} < \sum_{n - 2}^{100} \frac{1}{n (n - 1)} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + . . . + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$

Các số hạng triệt tiêu nhau, còn:

$= 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

Cách này chưa đủ để nhỏ hơn $\frac{3}{4}$ , nên ta làm chặt hơn.

Ta tách:

$\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Với $n \geq 3 : n^{2} > 2 n (n - 1)$

nên: $\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{2 n (n - 1)}$

Suy ra:

$\sum_{n - 2}^{100} \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n - 3}^{100} \frac{1}{n (n - 1)} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n - 3}^{100} (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{100}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{200} = \frac{1}{2} - \frac{1}{200} < \frac{3}{4}$

Vậy:

$\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + . . . + \frac{1}{100^{2}} < \frac{3}{4}$

Số thứ tự	Loại hàng	Số lượng (quyển)	Giá đơn vị (đồng)	Tổng số tiền (đồng)
1	Vở loại 1	35	2000	...
2	Vở loại 2	42	1500	...
3	Vở loại 3	38	1200	...
Cộng:				...

1 câu trả lời 11

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 6