Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán, ta sẽ làm từng bước một.

Bước 1: Biểu thức A
Biểu thức cho A là:

A=1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+⋯+n⋅(n+1)⋅(n+2)

Có thể viết lại tổng này như sau:

A= $\sum_{k = 1}^{n} k . (k + 1) . (k + 2)$

Bước 2: Đơn giản biểu thức tổng
Biểu thức k⋅(k+1)⋅(k+2) có thể khai triển thành:

k⋅(k+1)⋅(k+2)=k(k²+3k+2)=k³+3k²+2k

Vậy ta có:

A= $\sum_{k = 1}^{n} (k^{3} + 3 k^{2} + 2 k)$

Tách riêng các tổng này ra:

A= $\sum_{k = 1}^{n} k^{3} + {3 \sum k^{2}}_{k = 1}^{n} + 2 \sum_{k = 1}^{n} k$

Bước 3: Sử dụng công thức tổng
Sử dụng các công thức tổng sau:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$
Thay vào các công thức:

A= ${(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} + 3 . \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + 2 . \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4: Biểu thức CMR:4A+1:

4A+1=4⋅ $[{(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} + 3 . \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2}] + 1$

Ta sẽ cần tìm giá trị của A cho một số nnn cụ thể để kiểm tra xem biểu thức 4A+1 có phải là số chính phương hay không.

...Xem thêm

Answer 2