Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có:

VT = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + . . . + \frac{1}{19.20}$

= $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{19} - \frac{1}{20}$

= $(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{19})$ - $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{20})$

= $(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{19})$ + $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{20})$ - $2 . (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{20})$

= $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{19} + \frac{1}{20})$ - $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{10})$

= $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + . . . + \frac{1}{20}$ = VP

...Xem thêm

Answer 2

Ta có:

VT = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + . . . + \frac{1}{19.20}$

= $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{19} - \frac{1}{20}$

= $(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{19})$ - $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{20})$

= $(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{19})$ + $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{20})$ - $2 . (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{20})$

= $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{19} + \frac{1}{20})$ - $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{10})$

= $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + . . . + \frac{1}{20}$ = VP

Answer 3

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ biến đổi vế trái (VT) sao cho xuất hiện các số hạng của vế phải (VP).

Vế trái (VT):

$VT = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + ... + \frac{1}{19.20}$

Bước 1: Sử dụng công thức tách hạng tử

Ta biết rằng $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. Áp dụng vào từng số hạng của VT:

$VT = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + ... + (\frac{1}{19} - \frac{1}{20})$

Bước 2: Sắp xếp lại các số hạng

$VT = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{19}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{20})$

Bước 3: Thêm và bớt các số hạng còn thiếu để tạo dãy đầy đủ

Để xuất hiện dãy số từ 1 đến 20, ta cộng thêm $( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{20} )$ vào nhóm đầu và trừ đi chính nó ở nhóm sau:

$VT = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{20}) - 2 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{20})$

Bước 4: Nhân phân phối số 2 vào ngoặc thứ hai

$VT = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{20}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{10})$

Bước 5: Rút gọn

Các số hạng từ 1 đến $\frac{1}{10}$ ở cả hai ngoặc sẽ triệt tiêu lẫn nhau:

$VT = \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + ... + \frac{1}{20}$

Kết luận:

Sau khi rút gọn, ta thấy $VT = VP$.

Vậy đẳng thức đã được chứng minh:

$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + ... + \frac{1}{19.20} = \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + ... + \frac{1}{20}$