1. Biến đổi phương trình
Trước hết, ta đưa phương trình về dạng đơn giản hơn:

x² - 6y² = 1

x² - 1 = 6y²
(x - 1)(x + 1) = 6y²
2. Phân tích tính chẵn lẻ
Từ phương trình x² = 6y² + 1, ta thấy:

Vì 6y² luôn là số chẵn, nên 6y² + 1 là số lẻ.
Do đó x² là số lẻ, kéo theo x phải là số lẻ.
Vì x là số nguyên tố và là số lẻ, nên x không thể bằng 2. Vậy x $\ge$ 3.

3. Xét các trường hợp của y
Vì y là số nguyên tố, ta xét số nguyên tố nhỏ nhất:

Trường hợp 1: y = 2

Thay y = 2 vào phương trình x² - 6y² = 1:

x² - 6(2²) = 1
x² - 24 = 1
x² = 25
$\Rightarrow$ x = 5
(Vì x là số nguyên tố, ta nhận giá trị dương).

Kiểm tra: x=5 là số nguyên tố. (Thỏa mãn)

Trường hợp 2: y = 3

Thay y = 3 vào phương trình:

x² - 6(3²) = 1
x² - 54 = 1
x² = 55
Vì 55 không phải là số chính phương, nên không có giá trị x nguyên nào thỏa mãn.

Trường hợp 3: y > 3

Nếu y là số nguyên tố lớn hơn 3, thì y không chia hết cho 3. Khi đó y² khi chia cho 3 luôn dư 1 (tính chất số chính phương).

Đặt y² = 3k + 1. Thay vào phương trình ban đầu:

x² = 6(3k + 1) + 1
x² = 18k + 7
Xét số dư của x² khi chia cho 3:

x² = 3(6k + 2) + 1 $\to$ x² chia 3 dư 1

Điều này luôn đúng với mọi số nguyên tố x > 3.
Tuy nhiên, ta có thể xét theo cách khác chặt chẽ hơn:

Nếu y > 3, thì y là số lẻ. Khi đó y² chia 8 dư 1 (vì y lẻ).

x² = 6y² + 1
x² $\equiv 6\left(1\right)+1\equiv 7 ( mod 8)$
Mà một số chính phương khi chia cho 8 chỉ có thể dư 0, 1, 4. Do đó, x² $\equiv$7 (mod 8)  là vô lý.

Kết luận
Cặp số nguyên tố (x, y) duy nhất thỏa mãn phương trình là:

(x, y) = (5, 2)

1. Biến đổi phương trình
Trước hết, ta đưa phương trình về dạng đơn giản hơn:

x2 - 6y2 = 1

x2 - 1 = 6y2
(x - 1)(x + 1) = 6y2
2. Phân tích tính chẵn lẻ
Từ phương trình x2 = 6y2 + 1, ta thấy:

Vì 6y2 luôn là số chẵn, nên 6y2 + 1 là số lẻ.
Do đó x2 là số lẻ, kéo theo x phải là số lẻ.
Vì x là số nguyên tố và là số lẻ, nên x không thể bằng 2. Vậy x 3.

3. Xét các trường hợp của y
Vì y là số nguyên tố, ta xét số nguyên tố nhỏ nhất:

Trường hợp 1: y = 2

Thay y = 2 vào phương trình x2 - 6y2 = 1:

x2 - 6(22) = 1
x2 - 24 = 1
x2 = 25
x = 5
(Vì x là số nguyên tố, ta nhận giá trị dương).

Kiểm tra: x=5 là số nguyên tố. (Thỏa mãn)

Trường hợp 2: y = 3

Thay y = 3 vào phương trình:

x2 - 6(32) = 1
x2 - 54 = 1
x2 = 55
Vì 55 không phải là số chính phương, nên không có giá trị x nguyên nào thỏa mãn.

Trường hợp 3: y > 3

Nếu y là số nguyên tố lớn hơn 3, thì y không chia hết cho 3. Khi đó y2 khi chia cho 3 luôn dư 1 (tính chất số chính phương).

Đặt y2 = 3k + 1. Thay vào phương trình ban đầu:

x2 = 6(3k + 1) + 1
x2 = 18k + 7
Xét số dư của x2 khi chia cho 3:

x2 = 3(6k + 2) + 1  x2 chia 3 dư 1

Điều này luôn đúng với mọi số nguyên tố x > 3.
Tuy nhiên, ta có thể xét theo cách khác chặt chẽ hơn:

Nếu y > 3, thì y là số lẻ. Khi đó y2 chia 8 dư 1 (vì y lẻ).

x2 = 6y2 + 1
x2 
Mà một số chính phương khi chia cho 8 chỉ có thể dư 0, 1, 4. Do đó, x2  7 (mod 8)  là vô lý.

Kết luận
Cặp số nguyên tố (x, y) duy nhất thỏa mãn phương trình là:

(x, y) = (5, 2)