Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chào bạn, một câu hỏi rất hay về Số học! Để một phân số là tối giản, tử số và mẫu số của nó phải không có ước chung nào khác ngoài 1 (hay nói cách khác, Ước chung lớn nhất của chúng bằng 1).

Cho phân số $M = \frac{n - 5}{n - 2}$ với $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$.

1. Phân tích phân số
Để tìm điều kiện tối giản, trước hết ta hãy xem khi nào phân số này rút gọn được.

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số:

$d = \text{ƯCLN}(n - 5, n - 2)$
Khi đó, $d$ cũng phải là ước của hiệu giữa mẫu số và tử số:

$(n - 2) - (n - 5) \text{ chia hết cho } d$
$n - 2 - n + 5 \text{ chia hết cho } d$
$3 \text{ chia hết cho } d$
Vì $d$ là ước của 3, nên $d$ có thể là 1 hoặc 3.

2. Khi nào phân số RÚT GỌN được?
Phân số $M$ sẽ rút gọn được khi $d = 3$. Điều này xảy ra khi cả tử và mẫu đều chia hết cho 3:

$n - 2$ chia hết cho 3
$\Rightarrow n - 2 = 3k$ (với $k \in \mathbb{N}$)
$\Rightarrow n = 3k + 2$
Vậy khi $n$ có dạng $3k + 2$ (tức là $n$ chia 3 dư 2 như $2, 5, 8, 11, \dots$), phân số sẽ rút gọn được cho 3.

3. Khi nào phân số TỐI GIẢN?
Để phân số $M$ là tối giản, $d$ buộc phải bằng 1. Điều này có nghĩa là $n$ không được có dạng $3k + 2$.

Kết luận:

Phân số $M$ tối giản khi $n$ là số tự nhiên, $n \geq 2$ và $n$ không chia cho 3 dư 2.

Hoặc viết dưới dạng toán học:

$n \neq 3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N})$

Ví dụ kiểm tra:
Nếu $n = 3$: $M = \frac{3-5}{3-2} = \frac{-2}{1} = -2$ (Tối giản).
Nếu $n = 4$: $M = \frac{4-5}{4-2} = \frac{-1}{2}$ (Tối giản).
Nếu $n = 5$ (loại vì $5 = 3 \times 1 + 2$): $M = \frac{5-5}{5-2} = \frac{0}{3} = 0$ (Rút gọn được cho 3).

...Xem thêm

Answer 2