Hãy cùng phân tích các mẫu số nhé:

$6, 18, 36, 60, 90, 126, 168, 216, 270...$

Bước 1: Tìm quy luật của mẫu số

Ta nhận thấy các mẫu số này đều chia hết cho 3. Hãy thử chia chúng cho 3 xem sao:

$6 = 3 \times 2$
$18 = 3 \times 6$
$36 = 3 \times 12$
$60 = 3 \times 20$
...
$270 = 3 \times 90$
Các số $2, 6, 12, 20... 90$ chính là tích của hai số tự nhiên liên tiếp:

$2 = 1 \times 2$
$6 = 2 \times 3$
$12 = 3 \times 4$
$20 = 4 \times 5$
...
$90 = 9 \times 10$
Vậy mẫu số tổng quát có dạng: $3 \times n \times (n+1)$

Bước 2: Biến đổi biểu thức A

Ta đặt $1/3$ ra làm thừa số chung:

$A = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10} \right)$

Bước 3: Sử dụng công thức tính nhanh

Ta có công thức: $\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Áp dụng vào biểu thức trong ngoặc:

$A = \frac{1}{3} \times \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right)$
Khi cộng lại, các cặp số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau ($-1/2 + 1/2 = 0$, $-1/3 + 1/3 = 0,...$), chỉ còn lại số hạng đầu và số hạng cuối:

$A = \frac{1}{3} \times \left( 1 - \frac{1}{10} \right)$
$A = \frac{1}{3} \times \frac{9}{10}$
$A = \frac{3}{10}$

Cách trình bày bài giải:

Bài giải

Ta có:

$A = \frac{1}{3 \times 1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 3 \times 4} + \dots + \frac{1}{3 \times 9 \times 10}$
$A = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10} \right)$
$A = \frac{1}{3} \times \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right)$
$A = \frac{1}{3} \times \left( 1 - \frac{1}{10} \right)$
$A = \frac{1}{3} \times \frac{9}{10}$
$A = \frac{3}{10}$
Đáp số: $3/10$ (hoặc $0,3$)

Ta có:

$$�=\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}+\frac{1}{60}+\frac{1}{90}+\frac{1}{126}+\frac{1}{168}+\frac{1}{216}+\frac{1}{270}$$A=61​+181​+361​+601​+901​+1261​+1681​+2161​+2701​

$$6=2\times 3,18=3\times 6,36=4\times 9,60=5\times 12,90=6\times 15$$6=2×3,18=3×6,36=4×9,60=5×12,90=6×15

Ta thấy:

$$6=1\times 2\times 3,18=2\times 3\times 3,36=3\times 4\times 3,60=4\times 5\times 3$$6=1×2×3,18=2×3×3,36=3×4×3,60=4×5×3

Suy ra:

$$\frac{1}{6}=\frac{1}{3\times 1\times 2}$$61​=3×1×21​$$\frac{1}{18}=\frac{1}{3\times 2\times 3}$$181​=3×2×31​$$\frac{1}{36}=\frac{1}{3\times 3\times 4}$$361​=3×3×41​

Tổng quát:

$$\frac{1}{3�(�+1)}$$3n(n+1)1​

Với $�=1$n=1 đến $9$9.