a) Tính số đường thẳng từ 40 điểm (không có 3 điểm thẳng hàng)
- Với n điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng, số đường thẳng vẽ được tính theo công thức: $\frac{n(n-1)}{2}$
- Giải thích: * Từ 1 điểm, ta nối với n - 1 điểm còn lại để được n - 1 đường thẳng.
- Có n điểm nên ta có n(n - 1) đường thẳng.
- Tuy nhiên, mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần (ví dụ đường thẳng AB và BA là một), nên ta phải chia cho 2.
- Áp dụng với n = 40:
+ Số đường thẳng là: $\frac{40\times (40-1)}{2}=\frac{40\times 39}{2}=20\times 39=\mathrm{𝟕𝟖𝟎}$ (đường thẳng).
b) Tính số đường thẳng khi có 10 điểm thẳng hàng
- Khi có một nhóm điểm thẳng hàng, số đường thẳng sẽ bị giảm đi vì nhiều cặp điểm cùng nằm trên một đường thẳng duy nhất.
- Cách giải:
+ Giả sử không có 10 điểm nào thẳng hàng: Số đường thẳng vẽ được là 780 (như câu a).
- Xét riêng 10 điểm thẳng hàng:
+ Nếu 10 điểm này không thẳng hàng, chúng vẽ được: $\frac{10\times (10-1)}{2}=45$ đường thẳng.
- Nhưng vì chúng thẳng hàng, 10 điểm này chỉ vẽ được 1 đường thẳng duy nhất.
- Số đường thẳng thực tế:
+ Ta lấy tổng số đường thẳng ban đầu, trừ đi số đường thẳng "bị mất" do thẳng hàng, rồi cộng lại 1 đường thẳng của chính chúng.
+ Công thức: 780 - 45 + 1 = 736 (đường thẳng).

c) Tìm n khi biết có tất cả 105 đường thẳng
- Dựa vào công thức ở câu a, ta có phương trình: $\frac{n(n-1)}{2}$ = 105
- Giải phương trình:
=> n(n - 1) = 105 $\times$ 2
=> n(n - 1) = 210
- Ta cần tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 210.
- Ta thấy: 14 $\times$ 15 = 210.
Vậy n = 15.