Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

(Lưu ý: Trong đề bài của bạn ở câu b, c, d có xuất hiện điểm F. Dựa theo logic hình học, F chính là chân đường vuông góc kẻ từ M lên AB. Mình sẽ mặc định điểm E hạ lên AC và F hạ lên AB để giải bài này).

a) Vẽ hình

Để vẽ hình chính xác, bạn thực hiện các bước sau:

Vẽ đường tròn tâm O.
Lấy 3 điểm A,B,C trên đường tròn sao cho cạnh AB<AC.
Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC.
Từ M, hạ các đường vuông góc:
- MD⊥BC tại D.
- ME⊥AC tại E.
- MF⊥AB tại F (điểm F sẽ nằm ngoài đoạn AB vì AB<AC).

b) Chứng minh tứ giác BFMD nội tiếp

Để chứng minh một tứ giác nội tiếp, cách đơn giản nhất là tìm hai góc đối bù nhau hoặc cùng nhìn một cạnh.

Theo giả thiết:
- MF⊥AB⇒MFB=90∘
- MD⊥BC⇒MDB=90∘
Xét tứ giác BFMD, ta có:

MFB+MDB=90∘+90∘=180∘
Vì tổng hai góc đối bằng 180∘, nên tứ giác BFMD nội tiếp đường tròn đường kính MB.

c) Chứng minh MF⋅MC=MB⋅ME

Để chứng minh đẳng thức tích, chúng ta thường đưa về tỉ số đồng dạng: MEMF=MCMB.

Xét △MFB vuông tại F và △MEC vuông tại E có:
- MFB=MEC=90∘.
- MBF=MCE (Cùng bù với góc MBA trong tứ giác nội tiếp ABMC, hoặc hiểu là góc ngoài bằng góc đối trong).
Do đó, △MFB∼△MEC (g.g).
Suy ra tỉ số: MEMF=MCMB⇒MF⋅MC=MB⋅ME (đpcm).

d) Chứng minh 3 điểm E, D, F thẳng hàng

Đây chính là chứng minh sự tồn tại của Đường thẳng Simson.

Từ tứ giác nội tiếp BFMD (câu b), ta có: MDF=MBF (cùng nhìn cung MF).
Tương tự, chứng minh tứ giác MDCE nội tiếp (vì MDC=MEC=90∘ cùng nhìn cạnh MC):
- Suy ra: MDE+MCE=180∘ (tổng góc đối).
Trong tứ giác nội tiếp ABMC, ta có góc ngoài MBF=MCE (như đã dùng ở câu c).
Kết hợp lại:

FDE=MDF+MDE

Thay MDF=MBF=MCE, ta được:

FDE=MCE+MDE=180∘
Vì góc FDE=180∘, nên ba điểm E,D,F thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2

(Lưu ý: Trong đề bài của bạn ở câu b, c, d có xuất hiện điểm F. Dựa theo logic hình học, F chính là chân đường vuông góc kẻ từ M lên AB. Mình sẽ mặc định điểm E hạ lên AC và F hạ lên AB để giải bài này).

a) Vẽ hình

Để vẽ hình chính xác, bạn thực hiện các bước sau:

Vẽ đường tròn tâm O.
Lấy 3 điểm A,B,C trên đường tròn sao cho cạnh AB<AC.
Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC.
Từ M, hạ các đường vuông góc:
- MD⊥BC tại D.
- ME⊥AC tại E.
- MF⊥AB tại F (điểm F sẽ nằm ngoài đoạn AB vì AB<AC).

b) Chứng minh tứ giác BFMD nội tiếp

Để chứng minh một tứ giác nội tiếp, cách đơn giản nhất là tìm hai góc đối bù nhau hoặc cùng nhìn một cạnh.

Theo giả thiết:
- MF⊥AB⇒MFB=90∘
- MD⊥BC⇒MDB=90∘
Xét tứ giác BFMD, ta có:

MFB+MDB=90∘+90∘=180∘
Vì tổng hai góc đối bằng 180∘, nên tứ giác BFMD nội tiếp đường tròn đường kính MB.

c) Chứng minh MF⋅MC=MB⋅ME

Để chứng minh đẳng thức tích, chúng ta thường đưa về tỉ số đồng dạng: MEMF=MCMB.

Xét △MFB vuông tại F và △MEC vuông tại E có:
- MFB=MEC=90∘.
- MBF=MCE (Cùng bù với góc MBA trong tứ giác nội tiếp ABMC, hoặc hiểu là góc ngoài bằng góc đối trong).
Do đó, △MFB∼△MEC (g.g).
Suy ra tỉ số: MEMF=MCMB⇒MF⋅MC=MB⋅ME (đpcm).

d) Chứng minh 3 điểm E, D, F thẳng hàng

Đây chính là chứng minh sự tồn tại của Đường thẳng Simson.

Từ tứ giác nội tiếp BFMD (câu b), ta có: MDF=MBF (cùng nhìn cung MF).
Tương tự, chứng minh tứ giác MDCE nội tiếp (vì MDC=MEC=90∘ cùng nhìn cạnh MC):
- Suy ra: MDE+MCE=180∘ (tổng góc đối).
Trong tứ giác nội tiếp ABMC, ta có góc ngoài MBF=MCE (như đã dùng ở câu c).
Kết hợp lại:

FDE=MDF+MDE

Thay MDF=MBF=MCE, ta được:

FDE=MCE+MDE=180∘
Vì góc FDE=180∘, nên ba điểm E,D,F thẳng hàng.

Answer 3

Bài giải
a) Vẽ hình
Vẽ tam giác ABCABCABC với AB<ACAB < ACAB<AC, nội tiếp đường tròn (O)(O)(O).
Lấy điểm MMM thuộc cung BC không chứa A.
Từ MMM kẻ:

MD⊥BCMD ⟂ BCMD⊥BC tại DDD,
ME⊥ACME ⟂ ACME⊥AC tại EEE,
MF⊥ABMF ⟂ ABMF⊥AB tại FFF.

b) Chứng minh tứ giác BFMD nội tiếp
Ta có:

MF⊥ABMF ⟂ ABMF⊥AB nên ∠MFB=90∘\angle MFB = 90^\circ∠MFB=90∘,
MD⊥BCMD ⟂ BCMD⊥BC nên ∠MDB=90∘\angle MDB = 90^\circ∠MDB=90∘.
Suy ra:

∠MFB=∠MDB\angle MFB = \angle MDB∠MFB=∠MDBHai góc này cùng chắn đoạn MBMBMB, do đó bốn điểm B, F, M, D cùng nằm trên một đường tròn.

➡️ Tứ giác BFMD nội tiếp.

c) Chứng minh MF⋅MC=MB⋅MEMF \cdot MC = MB \cdot MEMF⋅MC=MB⋅ME
Vì tứ giác BFMDBFMDBFMD nội tiếp nên ta có:

MF⋅MB=MD⋅MBMF \cdot MB = MD \cdot MBMF⋅MB=MD⋅MBXét các tam giác vuông:

Trong tam giác MECMECMEC vuông tại EEE,
Trong tam giác MDCMDCMDC vuông tại DDD.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

MD⋅MC=ME⋅MBMD \cdot MC = ME \cdot MBMD⋅MC=ME⋅MBSuy ra:

MF⋅MC=MB⋅MEMF \cdot MC = MB \cdot MEMF⋅MC=MB⋅MEĐiều phải chứng minh.

d) Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng
Ta có:

MD⊥BCMD ⟂ BCMD⊥BC,
ME⊥ACME ⟂ ACME⊥AC,
MF⊥ABMF ⟂ ABMF⊥AB.
Ba điểm D,E,FD, E, FD,E,F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống ba cạnh của tam giác ABC.

Theo định lí đường Simson:

Với một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ba chân đường vuông góc hạ từ M xuống ba cạnh của tam giác (hoặc phần kéo dài) luôn thẳng hàng.
➡️ Ba điểm E, D, F thẳng hàng.

✅ Kết luận
a) Vẽ hình đúng yêu cầu
b) BFMDBFMDBFMD là tứ giác nội tiếp
c) MF⋅MC=MB⋅MEMF \cdot MC = MB \cdot MEMF⋅MC=MB⋅ME
d) Ba điểm E,D,FE, D, FE,D,F thẳng hàng (đường Simson)