Chào bạn, đây là một bài toán rất thú vị về hệ thức Vi-ét. Để lập phương trình bậc hai mới, chúng ta sẽ cần tính tổng và tích của hai nghiệm mới này dựa trên các hệ số của phương trình ban đầu.

Dưới đây là các bước giải chi tiết:

1. Phân tích phương trình ban đầu
Cho phương trình x2−x−1=0. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Tổng hai nghiệm: S=x1​+x2​=−ab​=1
Tích hai nghiệm: P=x1​x2​=ac​=−1

2. Tính Tổng và Tích của hai nghiệm mới
Gọi hai nghiệm của phương trình mới là u=x2​+x1​1​ và v=x1​+x2​1​.

Tính Tổng (S′):

S′=u+v=(x2​+x1​1​)+(x1​+x2​1​)
S′=(x1​+x2​)+(x1​1​+x2​1​)=(x1​+x2​)+x1​x2​x1​+x2​​
Thay số vào:

S′=1+−11​=1−1=0
Tính Tích (P′):

P′=u⋅v=(x2​+x1​1​)(x1​+x2​1​)
P′=x1​x2​+1+1+x1​x2​1​=x1​x2​+2+x1​x2​1​
Thay số vào:

P′=(−1)+2+−11​=−1+2−1=0

3. Lập phương trình bậc hai mới
Phương trình bậc hai có hai nghiệm u và v sẽ có dạng:

X2−S′X+P′=0
Thay S′=0 và P′=0 vào, ta được:

X2−0X+0=0
⇒X2=0
Kết luận: Phương trình bậc hai cần tìm là X2=0.

Một chút quan sát nhanh: Nếu bạn để ý, từ phương trình gốc x2−x−1=0, ta có x2−1=x. Chia cả hai vế cho x (vì x=0), ta được x−x1​=1. Khi đó:

x2​+x1​1​=x2​+−1/x2​1​=x2​−x2​=0
x1​+x2​1​=x1​+−1/x1​1​=x1​−x1​=0 Cả hai nghiệm mới đều bằng 0, nên phương trình X2=0 là hoàn toàn chính xác!

Để lập được phương trình mới, chúng ta sẽ đi qua các bước xác định tổng và tích của hai nghiệm mới nhé.

Cho phương trình: x2−x−1=0. Gọi x1​,x2​ là hai nghiệm của phương trình này.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

• Tổng hai nghiệm: S=x1​+x2​=−ab​=1

• Tích hai nghiệm: P=x1​x2​=ac​=−1

Gọi hai nghiệm của phương trình cần lập là u và v:

Tính Tổng (Smới​=u+v):

Thay các giá trị x1​+x2​=1 và x1​x2​=−1 vào:

Tính Tích (Pmới​=u⋅v):

Thay giá trị x1​x2​=−1 vào:

Phương trình bậc hai có hai nghiệm u,v sẽ có dạng:

Thay Smới​=0 và Pmới​=0 vào, ta được:

Kết luận: Phương trình bậc hai cần tìm là X2=0.

Lưu ý nhỏ: Khá bất ngờ khi kết quả ra một phương trình "gọn" như vậy đúng không? Điều này xảy ra vì hai giá trị x2​+x1​1​ và x1​+x2​1​ thực chất đều bằng 0 dựa trên các hệ số của phương trình gốc.