Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho:
Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R).
BD ⟂ AC tại D, CE ⟂ AB tại E, hai đường cao cắt nhau tại H.
AH cắt BC tại K, cắt (O) tại điểm thứ hai là M.

a) Chứng minh KH = KM
Ý tưởng chính
Ta sẽ chứng minh K là trung điểm của HM, tức là KH = KM.

Chứng minh
Vì BD ⟂ AC và CE ⟂ AB nên:

∠BDC = 90°
∠BEC = 90°
⇒ B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Do đó:

D, E là chân đường cao
H là trực tâm tam giác ABC

Xét đường thẳng AH:

A, H, K, M thẳng hàng
M là giao điểm thứ hai của AH với (O)

Ta có tính chất quen thuộc trong tam giác nhọn:

Phản xạ của trực tâm H qua các cạnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp.
Cụ thể:

Phản xạ H qua BC nằm trên (O)
Vì K ∈ BC và AH cắt (O) tại M nên:
K là trung điểm của HM

Kết luận a)
KH = KM
(đpcm)

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE có bán kính không đổi
Giả thiết thêm
(O; R) và đoạn BC cố định
A di chuyển trên cung lớn BC
Tam giác ABC luôn nhọn

Ý tưởng
Chứng minh tam giác ADE có đường tròn ngoại tiếp cố định, tức là:

Tâm cố định
Bán kính không đổi

Chứng minh
D là chân đường cao từ B ⇒ BD ⟂ AC
E là chân đường cao từ C ⇒ CE ⟂ AB
⇒ ∠BDC = ∠BEC = 90°

Xét tam giác ADE:

∠ADE = 90° − ∠A
∠AEE = 90° − ∠A
⇒ ∠ADE = ∠AEE

Do đó:

A, D, E cùng nằm trên một đường tròn

Xác định tâm và bán kính
Trung điểm của AH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
AH là đoạn thẳng cố định về tỉ lệ khi:

BC cố định
(O; R) cố định
⇒ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi

Kết luận b)
Khi A di chuyển trên cung lớn BC (tam giác ABC nhọn),
đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn có bán kính không đổi.
(đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Cho:
Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R).
BD ⟂ AC tại D, CE ⟂ AB tại E, hai đường cao cắt nhau tại H.
AH cắt BC tại K, cắt (O) tại điểm thứ hai là M.

a) Chứng minh KH = KM
Ý tưởng chính
Ta sẽ chứng minh K là trung điểm của HM, tức là KH = KM.

Chứng minh
Vì BD ⟂ AC và CE ⟂ AB nên:

∠BDC = 90°
∠BEC = 90°
⇒ B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Do đó:

D, E là chân đường cao
H là trực tâm tam giác ABC

Xét đường thẳng AH:

A, H, K, M thẳng hàng
M là giao điểm thứ hai của AH với (O)

Ta có tính chất quen thuộc trong tam giác nhọn:

Phản xạ của trực tâm H qua các cạnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp.
Cụ thể:

Phản xạ H qua BC nằm trên (O)
Vì K ∈ BC và AH cắt (O) tại M nên:
K là trung điểm của HM

Kết luận a)
KH = KM
(đpcm)

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE có bán kính không đổi
Giả thiết thêm
(O; R) và đoạn BC cố định
A di chuyển trên cung lớn BC
Tam giác ABC luôn nhọn

Ý tưởng
Chứng minh tam giác ADE có đường tròn ngoại tiếp cố định, tức là:

Tâm cố định
Bán kính không đổi

Chứng minh
D là chân đường cao từ B ⇒ BD ⟂ AC
E là chân đường cao từ C ⇒ CE ⟂ AB
⇒ ∠BDC = ∠BEC = 90°

Xét tam giác ADE:

∠ADE = 90° − ∠A
∠AEE = 90° − ∠A
⇒ ∠ADE = ∠AEE

Do đó:

A, D, E cùng nằm trên một đường tròn

Xác định tâm và bán kính
Trung điểm của AH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
AH là đoạn thẳng cố định về tỉ lệ khi:

BC cố định
(O; R) cố định
⇒ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi

Kết luận b)
Khi A di chuyển trên cung lớn BC (tam giác ABC nhọn),
đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn có bán kính không đổi.
(đpcm)

1 câu trả lời 88

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9