Gọi số tự nhiên cần tìm là n.
- Theo đề bài, n chia cho 3, 4, 5, 6 đều dư 2.
=> Điều này có nghĩa là nếu ta bớt đi 2 đơn vị từ n, thì số mới sẽ chia hết cho cả 3, 4, 5 và 6.
(n - 2) $⋮$ 3
(n - 2) $⋮$ 4
(n - 2) $⋮$ 5
(n - 2) $⋮$ 6
=> (n - 2) là Bội chung của {3, 4, 5, 6}.
- Ta tìm BCNN(3, 4, 5, 6):
3 = 3
4 = 2²
5 = 5
6 = 2 $\times$ 3
=> BCNN(3, 4, 5, 6) = 2² $\times$ 3 $\times$5 = 60.
Vậy, số (n - 2) phải có dạng là 60k (với k là số tự nhiên).
=> n = 60k + 2.
=>  Ta cần tìm số nhỏ nhất dạng n = 60k + 2 sao cho khi chia cho 7 thì dư 3. Ta sẽ thử các giá trị của k tăng dần:
=> Giá trị của k: n = 60k + 2
+) k = 1 => 60.(1) + 2 = 62
Vì 62 : 7 = 8 dư 6 => Loại
+) k = 2
Vì 60(2) + 2 = 122
122 : 7 = 17 dư 3 => Thỏa mãn
Vậy: Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện trên là 122.

$\color{blue}{\text{1. Phân tích điều kiện chia cho 3, 4, 5, 6 dư 2}}$
$\color{blue}{\text{Gọi số tự nhiên cần tìm là } x \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Vì } x \text{ chia cho 3, 4, 5, 6 đều dư 2 nên } (x - 2) \text{ sẽ chia hết cho cả 3, 4, 5, 6.}}$

$\color{blue}{\text{Nói cách khác, } (x - 2) \text{ là bội chung của 3, 4, 5, 6.}}$

$\color{blue}{\text{Ta tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 3, 4, 5, 6:}}$

$\color{blue}{3 = 3}$
$\color{blue}{4 = 2^2}$
$\color{blue}{5 = 5}$
$\color{blue}{6 = 2 \times 3}$

$\color{blue}{\text{BCNN}(3, 4, 5, 6) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60}$
$\color{blue}{\text{Do đó, } (x - 2) \in \{60, 120, 180, 240, 300, 360, \dots\}}$

$\color{blue}{\text{Suy ra } x \in \{62, 122, 182, 242, 302, 362, \dots\} \text{ (dạng } x = 60k + 2 \text{ với } k \in \mathbb{N}^* \text{)}}$

$\color{blue}{\text{2. Thử điều kiện chia cho 7 dư 3}}$
$\color{blue}{\text{Ta lần lượt kiểm tra các giá trị của } x \text{ vừa tìm được để xem số nào chia cho 7 dư 3:}}$

$\color{blue}{\text{Với } k = 1: x = 60 \times 1 + 2 = 62 \text{. Ta có } 62 : 7 = 8 \text{ dư 6 (Loại).}}$
$\color{blue}{\text{Với } k = 2: x = 60 \times 2 + 2 = 122 \text{. Ta có } 122 : 7 = 17 \text{ dư 3 (Thỏa mãn!).}}$

$\color{blue}{\text{3. Kết luận}}$
$\color{blue}{\text{Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên là **122**.}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$

1. Phân tích điều kiện chia cho 3, 4, 5, 6 dư 21. Phân tích điều kiện chia cho 3, 4, 5, 6 dư 2
Gọi số tự nhiên cần tìm là x.Gọi số tự nhiên cần tìm là x.

Vì x chia cho 3, 4, 5, 6 đều dư 2 nên (x−2) sẽ chia hết cho cả 3, 4, 5, 6.Vì x chia cho 3, 4, 5, 6 đều dư 2 nên (x−2) sẽ chia hết cho cả 3, 4, 5, 6.

Nói cách khác, (x−2) là bội chung của 3, 4, 5, 6.Nói cách khác, (x−2) là bội chung của 3, 4, 5, 6.

Ta tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 3, 4, 5, 6:Ta tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 3, 4, 5, 6:

3=33=3
4=224=22
5=55=5
6=2×36=2×3

BCNN(3,4,5,6)=22×3×5=60BCNN(3,4,5,6)=22×3×5=60
Do đó, (x−2)∈{60,120,180,240,300,360,…}Do đó, (x−2)∈{60,120,180,240,300,360,…}

Suy ra x∈{62,122,182,242,302,362,…} (dạng x=60k+2 với k∈N∗)Suy ra x∈{62,122,182,242,302,362,…} (dạng x=60k+2 với k∈N∗)

2. Thử điều kiện chia cho 7 dư 32. Thử điều kiện chia cho 7 dư 3
Ta lần lượt kiểm tra các giá trị của x vừa tìm được để xem số nào chia cho 7 dư 3:Ta lần lượt kiểm tra các giá trị của x vừa tìm được để xem số nào chia cho 7 dư 3:

Với k=1:x=60×1+2=62. Ta có 62:7=8 dư 6 (Loại).Với k=1:x=60×1+2=62. Ta có 62:7=8 dư 6 (Loại).
Với k=2:x=60×2+2=122. Ta có 122:7=17 dư 3 (Thỏa mãn!).Với k=2:x=60×2+2=122. Ta có 122:7=17 dư 3 (Thỏa mãn!).

3. Kết luận3. Kết luận
Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên là **122**.