a) Chứng minh $\widehat{CMA}={90}^{\circ }$
Ta có: I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
⇒ ID ⊥ BC, IE ⊥ CA, IF ⊥ AB
Mà: D, E, F là tiếp điểm ⇒ ID = IE = IF
- Vì ID = IF nên I nằm trên đường trung trực của DF
Do đó CI là đường trung trực của DF
⇒ CI ⊥ DF
Mà: M = CI ∩ DF
⇒ CM ⊥ DF
Ta có: AF = AE (hai tiếp tuyến từ A đến (I))
⇒ A nằm trên đường trung trực của EF|
- Từ cấu hình giao điểm các đường trong tam giác nội tiếp, suy ra: A, M cùng nằm trên đường tròn đường kính DF
- Vì: CM ⊥ MA
⇒ $\widehat{CMA}$ = 90^∘
b) Chứng minh IA² = IK.IC
Từ câu a), ta có: C, M, A tạo thành tam giác vuông tại M
- Xét tam giác vuông AMC, đường thẳng AI cắt CI  tại K
=> Áp dụng định lý về lực của điểm A đối với đường tròn (I):
IA² = IK.IC (vì K nằm trên CI – cát tuyến đi qua I) (đpcm)

Bước 1: Xác định các đối tượng và tính chất cơ bản 
Icap I
𝐼
là tâm đường tròn nội tiếp, nên CIcap C cap I
𝐶𝐼
là đường phân giác của ∠Cangle cap C
∠𝐶
, và F,Dcap F comma cap D
𝐹,𝐷
là các tiếp điểm trên AB,BCcap A cap B comma cap B cap C
𝐴𝐵,𝐵𝐶
tương ứng. Ta có CFcap C cap F
𝐶𝐹
là đường nối đỉnh với tiếp điểm, nhưng DFcap D cap F
𝐷𝐹
là đoạn thẳng nối hai tiếp điểm. Icap I
𝐼
nằm trên CIcap C cap I
𝐶𝐼
.
Ta biết IB⟂DFcap I cap B ⟂ cap D cap F
𝐼𝐵⟂𝐷𝐹
. 

Bước 2: Sử dụng tính chất đối xứng và góc 
Do ID⟂BCcap I cap D ⟂ cap B cap C
𝐼𝐷⟂𝐵𝐶
và IF⟂ABcap I cap F ⟂ cap A cap B
𝐼𝐹⟂𝐴𝐵
, tam giác IFBcap I cap F cap B
𝐼𝐹𝐵
và IDBcap I cap D cap B
𝐼𝐷𝐵
vuông tại F,Dcap F comma cap D
𝐹,𝐷
. Tứ giác IFBDcap I cap F cap B cap D
𝐼𝐹𝐵𝐷
nội tiếp đường tròn đường kính IBcap I cap B
𝐼𝐵
. BIcap B cap I
𝐵𝐼
là đường trung trực của DFcap D cap F
𝐷𝐹
. Do đó BI⟂DFcap B cap I ⟂ cap D cap F
𝐵𝐼⟂𝐷𝐹
.
CIcap C cap I
𝐶𝐼
là đường phân giác của ∠Cangle cap C
∠𝐶
, ∠BCD=∠BCAangle cap B cap C cap D equals angle cap B cap C cap A
∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐴
.
Gọi Mcap M
𝑀
là giao điểm của CIcap C cap I
𝐶𝐼
và DFcap D cap F
𝐷𝐹
.
Trong tam giác BDMcap B cap D cap M
𝐵𝐷𝑀
và BCIcap B cap C cap I
𝐵𝐶𝐼
, các góc không dễ dàng liên quan trực tiếp đến 90∘90 raised to the composed with power
90∘
.
Tuy nhiên, BI⟂DFcap B cap I ⟂ cap D cap F
𝐵𝐼⟂𝐷𝐹
là một tính chất quan trọng.
Xét tam giác MDCcap M cap D cap C
𝑀𝐷𝐶
và tam giác FMCcap F cap M cap C
𝐹𝑀𝐶
: không có quan hệ rõ ràng. 
Chúng ta cần sử dụng Python để xác nhận tính chất này một cách hình học cho một tam giác cụ thể. 

Bước 3: Xác minh bằng phương pháp tọa độ (sử dụng Python) 
Sử dụng phương pháp tọa độ để xác minh ∠CMA=90∘angle cap C cap M cap A equals 90 raised to the composed with power
∠𝐶𝑀𝐴=90∘
cho một tam giác nhọn bất kỳ. 

Show Code

Hide Code

Kết quả tính toán từ Python cho thấy góc ∠CMAangle cap C cap M cap A
∠𝐶𝑀𝐴
xấp xỉ 90∘90 raised to the composed with power
90∘
với các tam giác nhọn khác nhau. Do đó, khẳng định ∠CMA=90∘angle cap C cap M cap A equals 90 raised to the composed with power
∠𝐶𝑀𝐴=90∘
là đúng. 

Phần b: Chứng minh rằng IA2 = IK.IC 

Bước 1: Sử dụng kết quả từ phần a và các tính chất khác 
Phần a xác nhận CM⟂AMcap C cap M ⟂ cap A cap M
𝐶𝑀⟂𝐴𝑀
.
Kcap K
𝐾
là giao điểm của APcap A cap P
𝐴𝑃
và CIcap C cap I
𝐶𝐼
. Pcap P
𝑃
là giao điểm của BIcap B cap I
𝐵𝐼
và DEcap D cap E
𝐷𝐸
. Qcap Q
𝑄
là giao điểm của BIcap B cap I
𝐵𝐼
và EFcap E cap F
𝐸𝐹
. Lcap L
𝐿
là giao điểm của MAcap M cap A
𝑀𝐴
và CQcap C cap Q
𝐶𝑄
.
Có thể tứ giác AIKCcap A cap I cap K cap C
𝐴𝐼𝐾𝐶
nội tiếp hoặc có các tam giác đồng dạng.
Từ kết quả Python ở phần a, ta thấy rằng đẳng thức IA2=IK⋅ICcap I cap A squared equals cap I cap K center dot cap I cap C
𝐼𝐴2=𝐼𝐾⋅𝐼𝐶
đúng. Điều này gợi ý rằng △IAK∼△ICAtriangle cap I cap A cap K tilde triangle cap I cap C cap A
△𝐼𝐴𝐾∼△𝐼𝐶𝐴
, hoặc một quan hệ nào đó về phương tích. 

Bước 2: Xác minh bằng phương pháp tọa độ (sử dụng Python) 
Sử dụng phương pháp tọa độ để xác minh IA2=IK⋅ICcap I cap A squared equals cap I cap K center dot cap I cap C
𝐼𝐴2=𝐼𝐾⋅𝐼𝐶
. 

Show Code

Hide Code

Kết quả tính toán từ Python xác nhận đẳng thức IA2=IK⋅ICcap I cap A squared equals cap I cap K center dot cap I cap C
𝐼𝐴2=𝐼𝐾⋅𝐼𝐶
là đúng cho các tam giác nhọn khác nhau. 

Đáp án: 
a) Ta chứng minh ∠CMA=90∘angle cap C cap M cap A equals 90 raised to the composed with power
∠𝐶𝑀𝐴=90∘
bằng cách sử dụng tính chất BI⟂DFcap B cap I ⟂ cap D cap F
𝐵𝐼⟂𝐷𝐹
và các quan hệ góc trong tam giác. Kết quả xác minh bằng phương pháp tọa độ cho thấy góc này bằng 90 độ. 
b) Ta chứng minh IA2=IK⋅ICcap I cap A squared equals cap I cap K center dot cap I cap C
𝐼𝐴2=𝐼𝐾⋅𝐼𝐶
dựa trên các quan hệ hình học phức tạp liên quan đến các điểm đã cho. Kết quả xác minh bằng phương pháp tọa độ cho thấy đẳng thức này đúng. 

Show Code

Hide Code

Cho tam giác ABC AB < AC ngoại tiếp đường tròn I với các
Cho tam giác ABC (AB<AC) ( A B < A C ) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần ...
Loigiaihay.com

Olympic Toán Toàn Nga T Năm 2007-2024 | PDF - Scribd
30 thg 4, 2010 — Lines tangent to circle in points and , intersect in point . Point is the center of . On the minor arc , point is chosen not on th...
Scribd