a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp $∆$ABC
Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên AB $\perp$OB và AC $\perp$OC.
- Xét tứ giác ABOC có $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}={90}^{\circ }$.
=> B, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
- Trong tam giác ABC cân tại A (AB = AC), gọi H là giao điểm của AO và BC. Do tính chất tiếp tuyến, AO $\perp$ BC tại H.
=> Tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ABC nằm trên đoạn AO.
- Vì AB = AC, tâm sẽ là điểm cách đều A, B, C.
- Trong trường hợp đặc biệt này, tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ABC chính là trung điểm của đoạn nối A và tâm đường tròn nội tiếp (nếu tam giác đều) hoặc tính toán cụ thể dựa trên các cạnh. Tuy nhiên, dễ thấy A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
b) Tính góc $\widehat{BOC}$ và Chu vi $∆$ABC
- Trong $∆$ABO vuông tại B: $\cos \widehat{BOA}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{R\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
=> $\sin \widehat{BAO}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{BAO}\approx {35.26}^{\circ }$
=> $\widehat{BOC}=2. \widehat{BOA}$, ta tính được $\widehat{BOA}\approx {54.74}^{\circ }$.
Vậy $\widehat{BOC}\approx {109.48}^{\circ }$.
=> $AB=\sqrt{A{O}^2-O{B}^2}=\sqrt{3R^2-R^2}=R\sqrt{2}$.
- Do AB = AC = $R\sqrt{2}$.
- Trong $∆$ABO, đường cao $BH : BH=\frac{AB\cdot BO}{AO}=\frac{R\sqrt{2}\cdot R}{R\sqrt{3}}=\frac{R\sqrt{6}}{3}$.
=> BC = 2BH = $\frac{2R\sqrt{6}}{3}$.
- Chu vi $∆$ABC = AB + AC + BC = $2R\sqrt{2}+\frac{2R\sqrt{6}}{3}=2R(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3})$.
c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp $∆$ABC
- I nằm trên AO, mà AO là phân giác của $\widehat{BAC}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
- Để I là tâm nội tiếp, BI phải là phân giác của  $\widehat{ABC}$.
Ta có OI = R, OA = $R\sqrt{3}$ => AI = $R(\sqrt{3}-1)$.
- Trong tam giác vuông ABH, ta tính các tỉ số lượng giác để chứng minh $ABI=\widehat{CBI}$. Cụ thể, ta kiểm tra xem AI/IH có bằng AB/BH không (tính chất đường phân giác).

Bài toán hình học với hai tiếp tuyến từ A đến (O; R)
Trang bạn đang xem nêu bài: điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R), AO=R3. Kẻ AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) tại B,C.

Yêu cầu:

a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Tính chu vi tam giác ABC và góc ∠BOC.
c) Gọi I là giao điểm của AO và (O). Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AOB (ý c).
 
Các tính chất cơ bản của cấu hình
Tiếp tuyến–bán kính: OB⊥AB, OC⊥AC.
Hai tiếp tuyến từ một điểm: AB=AC=AO2−R2=R2.
Đối xứng qua AO: Tam giác ABC cân tại A và trục đối xứng là đường thẳng AO.
 
a) Tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Tâm: Do AB=AC và cấu hình đối xứng qua AO, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (gọi là J) nằm trên đường thẳng AO (trục đối xứng của tam giác).
Bán kính: Gọi θ=∠AOB. Tam giác AOB vuông tại B nên
cos⁡θ=OBAO=RR3=13.
Khi đó ∠BOC=2θ (đối xứng qua AO). Độ dài dây BC của (O):

BC=2Rsin⁡(∠BOC2)=2Rsin⁡θ=2R⋅23=223 R.
Góc ở đỉnh A của tam giác ABC là góc tạo bởi hai tiếp tuyến:

∠BAC=180∘−∠BOC=180∘−2θ.
Bán kính ngoại tiếp tam giác ABC:

RABC=BC2sin⁡∠A=2Rsin⁡θ2sin⁡(2θ)=R2cos⁡θ=R32.
Vậy J∈AO và RABC=32R.

 
b) Chu vi tam giác ABC và góc ∠BOC
Góc tâm:
∠BOC=2θ,cos⁡θ=13 ⇒ sin⁡θ=1−13=23.
Suy ra

∠BOC=2arccos⁡ ⁣(13).
Chu vi:
AB=AC=R2,BC=2Rsin⁡θ=223 R.
Do đó

PABC=AB+AC+BC=2R2+223 R=2R2(1+13).
 
c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AOB
Vị trí I: I là giao điểm của AO với (O) (lấy điểm phía gần A). Vì cấu hình đối xứng qua AO, ta có
∠BAI=∠IACvaˋ∠IOB=∠COI.
Suy ra trong tam giác AOB, đường thẳng AI là phân giác góc tại A, và OI là phân giác góc tại O.

Tiếp xúc: Do OB⊥AB và OI là bán kính đến điểm I trên (O), đường tròn tâm I bán kính IB tiếp xúc với cả hai cạnh AB và OB. Đồng thời, vì AI là phân giác góc tại A, đường tròn này cũng tiếp xúc cạnh AO.
Kết luận: I là giao điểm các phân giác của tam giác AOB, nên I chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AOB.
 
Tóm tắt kết quả
Tâm ngoại tiếp tam giác ABC: nằm trên đường thẳng AO.
Bán kính ngoại tiếp: RABC=32R.
Chu vi: PABC=2R2(1+13).
Góc tâm: ∠BOC=2arccos⁡ ⁣(13).
Ý c: