Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Có: 2ⁿ > 2ⁿ -2

$\frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{2^{n} - 2}$

$\frac{1}{2^{n}} + 1 < \frac{1}{2^{n} - 2} + 1$

$\frac{1}{2^{n}} + 1 < \frac{2^{n} - 1}{2^{n} - 2}$

$\frac{1}{2^{n}} + 1 < \frac{2^{n} - 1}{2 . (2^{n - 1} - 1)}$

=> P < $\frac{3}{2} . \frac{2^{2} - 1}{2 . (2^{2 - 1} - 1)} . \frac{2^{3} - 1}{2 . (2^{3 - 1} - 1)} . \frac{2^{4} - 1}{2 . (2^{4 - 1} - 1)} . . . . \frac{2^{200} - 1}{2 . (2^{200 - 1} - 1)}$

P < $\frac{3}{2} . \frac{2^{2} - 1}{2 . (2 - 1)} . \frac{2^{3} - 1}{2 . (2^{2} - 1)} . \frac{2^{4} - 1}{2 . (2^{3} - 1)} . . . . . . . \frac{2^{200} - 1}{2 . (2^{199} - 1)}$

P < $\frac{3 . (2^{200} - 1)}{2^{200}}$ < 3

...Xem thêm

Answer 2

Có: 2ⁿ > 2ⁿ -2

$\frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{2^{n} - 2}$

$\frac{1}{2^{n}} + 1 < \frac{1}{2^{n} - 2} + 1$

$\frac{1}{2^{n}} + 1 < \frac{2^{n} - 1}{2^{n} - 2}$

$\frac{1}{2^{n}} + 1 < \frac{2^{n} - 1}{2 . (2^{n - 1} - 1)}$

=> P < $\frac{3}{2} . \frac{2^{2} - 1}{2 . (2^{2 - 1} - 1)} . \frac{2^{3} - 1}{2 . (2^{3 - 1} - 1)} . \frac{2^{4} - 1}{2 . (2^{4 - 1} - 1)} . . . . \frac{2^{200} - 1}{2 . (2^{200 - 1} - 1)}$

P < $\frac{3}{2} . \frac{2^{2} - 1}{2 . (2 - 1)} . \frac{2^{3} - 1}{2 . (2^{2} - 1)} . \frac{2^{4} - 1}{2 . (2^{3} - 1)} . . . . . . . \frac{2^{200} - 1}{2 . (2^{199} - 1)}$

P < $\frac{3 . (2^{200} - 1)}{2^{200}}$ < 3

Answer 3

Điều cần chứng minh là đúng.

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức cơ bản

Ta sử dụng bất đẳng thức

1 + � < �^{�}

1+𝑥<𝑒𝑥

với

� > 0

𝑥>0

. Trong trường hợp này, các thừa số có dạng

1 + \frac{1}{2^{�}}

1+12𝑘

, nên ta có:

� = (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{3}}) \dots (1 + \frac{1}{2^{200}}) < �^{\frac{1}{2}} \cdot �^{\frac{1}{2^{2}}} \cdot �^{\frac{1}{2^{3}}} \dots �^{\frac{1}{2^{200}}}

𝑃=1+121+1221+123…1+12200<𝑒12⋅𝑒122⋅𝑒123…𝑒12200

Bước 2: Đơn giản hóa số mũ

Sử dụng quy tắc nhân lũy thừa

�^{�} \cdot �^{�} = �^{� + �}

𝑒𝑎⋅𝑒𝑏=𝑒𝑎+𝑏

, ta có:

� < �^{(\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{200}})}

𝑃<𝑒12+122+123+…+12200

Bước 3: Tính tổng cấp số nhân

Tổng trong số mũ là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu

� = \frac{1}{2}

𝑎=12

và công bội

� = \frac{1}{2}

𝑞=12

. Tổng của 200 số hạng đầu tiên được tính bằng công thức

�_{�} = � \frac{1 - �^{�}}{1 - �}

𝑆𝑛=𝑎1−𝑞𝑛1−𝑞

:

�_{200} = \frac{1}{2} \frac{1 - (\frac{1}{2})^{200}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1 - (\frac{1}{2})^{200}}{\frac{1}{2}} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{200}

𝑆200=121−(12)2001−12=121−(12)20012=1−12200

Vì

{(\frac{1}{2})}^{200} > 0

12200>0

, ta có

�_{200} < 1

𝑆200<1

.

Bước 4: Hoàn thành chứng minh

Thay kết quả tổng trở lại bất đẳng thức cho P:

� < �^{�_{200}} < �^{1} = �

𝑃<𝑒𝑆200<𝑒1=𝑒

Vì

� \approx 2.718 < 3

𝑒≈2.718<3

, ta kết luận:

� < � < 3

𝑃<𝑒<3

Do đó

� < 3

𝑃<3

.

Trả lời:

Điều cần chứng minh

� < 3

𝑃<3

là đúng.