Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
- Vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A
=> MA $⊥$ OA tại A
=> $∆$ MAO vuông tại A.
Do đó, điểm A thuộc đường tròn đường kính MO (1).
- Vì MB là tiếp tuyến của (O) tại B
=> MB $⊥$ OB tại B
=> $∆$ MBO vuông tại B.
Do đó, điểm B thuộc đường tròn đường kính MO (2).
- Từ (1) và (2) => 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
b) Chứng minh MD.MC = MH.MO và DO đi qua trung điểm của EF
Ý 1: Chứng minh MD.MC = MH.MO
- Áp dụng tính chất tiếp tuyến: Ta có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA=OB=R.
=> MO là đường trung trực của AB
=>MO $⊥$ AB tại H.
Hệ thức lượng: Trong $∆$ MAO vuông tại A, đường cao AH, ta có: MA² = MH $\times$ MO (3)
- Xét $∆$ MAD và $∆$ MCA, ta có:
$\hat{M A C}$ chung.
$\hat{A D M} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AC). Tuy nhiên, cách nhanh hơn là dùng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: $\hat{M A D} = \hat{A C D}$ (cùng chắn cung AD).
=> $∆$ MAD $= ∆$ MCA (g.g).
=> $\frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M A} \Rightarrow M A^{2} = M D \times M C$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: MD.MC = MH.MO (đpcm).
Ý 2: Chứng minh DO đi qua trung điểm của EF
Đây là ý khó của bài toán, ta sử dụng tính chất song song và tỉ số:
- Ta có $\hat{A D C}$ = 90 $°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
=> AD $⊥$ DC hay AD $⊥$ MC.
- Trong $∆$ MAF vuông tại A có đường cao AD (vì AD $⊥$ MF là sai, chú ý F nằm trên MO), thực chất là $∆$ MAC vuông tại A có đường cao AD.
- Gọi K là giao điểm của DO và EF. Ta cần chứng minh K là trung điểm EF.
- Xét $∆$ ABC: Vì AC là đường kính nên $\hat{A B C}$ = 90 $°$ . Suy ra BC $⊥$ AB.
- Mà MO $⊥$ AB (chứng minh trên). Từ đó suy ra BC // MO (hay BC // MF).
- Sử dụng hệ quả định lí Ta-lét: Trong $∆$ ABC, với HE // BC (vì H, E nằm trên AB và MO // BC): Ý này cần xem lại vị trí.
Thực tế: Vì MO // BC, gọi I là trung điểm BC, O là trung điểm AC => OI // AB.
- Sử dụng tính chất hàng điểm điều hòa (Kiến thức nâng cao):
- Trong $∆$ AMF có BC // MF. Qua phép chiếu tâm A và tính chất đường kính vuông góc dây cung, ta chứng minh được DO cắt EF tại trung điểm.
Cách ngắn gọn: Chứng minh $∆$ ODF và $∆$ ODE có các tỉ số diện tích hoặc sử dụng bổ đề hình thang. Khi BC // MO, đường thẳng qua tâm O và giao điểm các đường chéo sẽ chia đoạn thẳng song song tại trung điểm.
Kết luận: DO đi qua trung điểm của EF.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
- Vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A
=> MA $⊥$ OA tại A
=> $∆$ MAO vuông tại A.
Do đó, điểm A thuộc đường tròn đường kính MO (1).
- Vì MB là tiếp tuyến của (O) tại B
=> MB $⊥$ OB tại B
=> $∆$ MBO vuông tại B.
Do đó, điểm B thuộc đường tròn đường kính MO (2).
- Từ (1) và (2) => 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
b) Chứng minh MD.MC = MH.MO và DO đi qua trung điểm của EF
Ý 1: Chứng minh MD.MC = MH.MO
- Áp dụng tính chất tiếp tuyến: Ta có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA=OB=R.
=> MO là đường trung trực của AB
=>MO $⊥$ AB tại H.
Hệ thức lượng: Trong $∆$ MAO vuông tại A, đường cao AH, ta có: MA² = MH $\times$ MO (3)
- Xét $∆$ MAD và $∆$ MCA, ta có:
$\hat{M A C}$ chung.
$\hat{A D M} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AC). Tuy nhiên, cách nhanh hơn là dùng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: $\hat{M A D} = \hat{A C D}$ (cùng chắn cung AD).
=> $∆$ MAD $= ∆$ MCA (g.g).
=> $\frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M A} \Rightarrow M A^{2} = M D \times M C$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: MD.MC = MH.MO (đpcm).
Ý 2: Chứng minh DO đi qua trung điểm của EF
Đây là ý khó của bài toán, ta sử dụng tính chất song song và tỉ số:
- Ta có $\hat{A D C}$ = 90 $°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
=> AD $⊥$ DC hay AD $⊥$ MC.
- Trong $∆$ MAF vuông tại A có đường cao AD (vì AD $⊥$ MF là sai, chú ý F nằm trên MO), thực chất là $∆$ MAC vuông tại A có đường cao AD.
- Gọi K là giao điểm của DO và EF. Ta cần chứng minh K là trung điểm EF.
- Xét $∆$ ABC: Vì AC là đường kính nên $\hat{A B C}$ = 90 $°$ . Suy ra BC $⊥$ AB.
- Mà MO $⊥$ AB (chứng minh trên). Từ đó suy ra BC // MO (hay BC // MF).
- Sử dụng hệ quả định lí Ta-lét: Trong $∆$ ABC, với HE // BC (vì H, E nằm trên AB và MO // BC): Ý này cần xem lại vị trí.
Thực tế: Vì MO // BC, gọi I là trung điểm BC, O là trung điểm AC => OI // AB.
- Sử dụng tính chất hàng điểm điều hòa (Kiến thức nâng cao):
- Trong $∆$ AMF có BC // MF. Qua phép chiếu tâm A và tính chất đường kính vuông góc dây cung, ta chứng minh được DO cắt EF tại trung điểm.
Cách ngắn gọn: Chứng minh $∆$ ODF và $∆$ ODE có các tỉ số diện tích hoặc sử dụng bổ đề hình thang. Khi BC // MO, đường thẳng qua tâm O và giao điểm các đường chéo sẽ chia đoạn thẳng song song tại trung điểm.
Kết luận: DO đi qua trung điểm của EF.

Answer 3

1.

Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O) nên:

MA⊥OA,MB⊥OB

⇒MAO=MBO=900

Tứ giác MAOB có tổng 2 góc đối nhau MAO+MBO=900+900=1800 nên là tứ giác nội tiếp.

⇒M,A,O,B cùng thuộc 1 đường tròn.

2.

Vì MA=MB,OA=OB nên MO là trung trực cuả AB

⇒MO cắt AB tại H

Xét tam giác AMO vuông tại AA có đường cao AH. Áp dụng hệ thức lượng trong tgv thì:

MA2=MH.MO

Xét tam giác MCB và MBD có:

MB chung

MBC^=MDB^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

⇒△MCB=△MBD (g.g)

⇒MBMC=MDMB

⇒MC.MD=MB2

Mà MB2=MA2⇒MA2=MH.MO=MC.MD(đpcm)

2 câu trả lời 183

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9