$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt[3]{ax^3 + 4x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + bx + 1} - 2x - 4 \right) = 3$
Chúng ta sẽ tách biểu thức thành hai phần để khử dạng vô định:

Nhóm căn bậc ba với một phần của $-2x$: $(\sqrt[3]{ax^3 + 4x^2 + 1} - mx)$
Nhóm căn bậc hai với phần còn lại của $-2x$: $(\sqrt{x^2 + bx + 1} + nx)$
Để giới hạn hữu hạn khi $x \to -\infty$, các hệ số bậc cao nhất phải triệt tiêu nhau.

Với căn bậc ba: $\sqrt[3]{ax^3} = x\sqrt[3]{a}$. Để triệt tiêu với $-mx$, ta cần $a$ là một lập phương hoàn hảo. Thông thường, để đơn giản hóa với $-2x$, ta chọn $m$ sao cho kết hợp với phần căn bậc hai.
Với căn bậc hai: $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ (vì $x \to -\infty$).

Bước 1: Phân tích các giới hạn thành phần
Ta viết lại biểu thức dưới dạng:

$L = \lim_{x \to -\infty} \left[ (\sqrt[3]{ax^3 + 4x^2 + 1} - cx) + (\sqrt{x^2 + bx + 1} + x) \right] - 4 = 3$
 

Ở đây ta đã tách $-2x$ thành $-cx + x$. Để căn bậc hai $\sqrt{x^2+bx+1}$ không tiến tới vô cùng, ta phải cộng nó với $x$ (vì $\sqrt{x^2} \to -x$ khi $x \to -\infty$). Do đó, phần còn lại đi với căn bậc ba phải là $-x$. Suy ra $c = 1$.

Để $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt[3]{ax^3 + 4x^2 + 1} - x)$ hữu hạn, hệ số của $x^3$ trong căn phải tương ứng với $x^3$ bên ngoài.

$\Rightarrow \sqrt[3]{a} = 1 \Rightarrow \mathbf{a = 1}$.

Bước 2: Tính toán từng giới hạn
Giới hạn 1 ($L_1$):

$L_1 = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt[3]{x^3 + 4x^2 + 1} - x)$
 

Sử dụng hằng đẳng thức $A - B = \frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2}$:

$L_1 = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 4x^2 + 1 - x^3}{\sqrt[3]{(x^3+4x^2+1)^2} + x\sqrt[3]{x^3+4x^2+1} + x^2}$
 

Chia cả tử và mẫu cho $x^2$:

$L_1 = \frac{4}{1 + 1 + 1} = \mathbf{\frac{4}{3}}$
Giới hạn 2 ($L_2$):

$L_2 = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + bx + 1} + x)$
 

Nhân liên hợp:

$L_2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + bx + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + bx + 1} - x}$
 

Lưu ý: Khi đưa $x^2$ ra khỏi căn bậc hai với $x \to -\infty$, ta có $\sqrt{x^2} = -x$.

$L_2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{bx + 1}{-x\sqrt{1 + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2}} - x} = \frac{b}{-1 - 1} = \mathbf{-\frac{b}{2}}$
Bước 3: Tìm b và tính S
Thay các giá trị vào phương trình tổng:

$L_1 + L_2 - 4 = 3$
$\frac{4}{3} - \frac{b}{2} - 4 = 3$
$-\frac{b}{2} = 7 - \frac{4}{3} = \frac{17}{3}$
$\mathbf{b = -\frac{34}{3}}$
Tính giá trị $S = 2a + 54b$:

$S = 2(1) + 54\left(-\frac{34}{3}\right)$
$S = 2 + 18(-34)$
$S = 2 - 612$
$S = -610$

Kết quả: $S = -610$.