Để chứng minh
aa
𝑎
và bb
𝑏
là các số chính phương khi aba b
𝑎𝑏
là số chính phương và gcd(a,b)=1gcd open paren a comma b close paren equals 1
gcd(𝑎,𝑏)=1
, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố. 

Chứng minh: 
Phân tích thừa số nguyên tố của aa
𝑎
và bb
𝑏
:
Giả sử aa
𝑎
và bb
𝑏
có các phân tích thừa số nguyên tố như sau: a=p1m1p2m2…pkmka equals p sub 1 raised to the m sub 1 power p sub 2 raised to the m sub 2 power … p sub k raised to the m sub k power
𝑎=𝑝𝑚11𝑝𝑚22…𝑝𝑚𝑘𝑘

b=q1n1q2n2…qjnjb equals q sub 1 raised to the n sub 1 power q sub 2 raised to the n sub 2 power … q sub j raised to the n sub j power
𝑏=𝑞𝑛11𝑞𝑛22…𝑞𝑛𝑗𝑗

Trong đó pi,qrp sub i comma q sub r
𝑝𝑖,𝑞𝑟
là các số nguyên tố khác nhau và mi,nr≥1m sub i comma n sub r is greater than or equal to 1
𝑚𝑖,𝑛𝑟≥1
.

Sử dụng điều kiện nguyên tố cùng nhau:
Vì (a,b)=1open paren a comma b close paren equals 1
(𝑎,𝑏)=1
, tập hợp các thừa số nguyên tố của aa
𝑎
và bb
𝑏
phải hoàn toàn tách biệt. Nghĩa là không có số nguyên tố nào vừa xuất hiện trong phân tích của aa
𝑎
vừa xuất hiện trong phân tích của bb
𝑏
( pi≠qrp sub i is not equal to q sub r
𝑝𝑖≠𝑞𝑟
với mọi i,ri comma r
𝑖,𝑟
).
Xét tích aba b
𝑎𝑏
:
Tích ab=p1m1…pkmk⋅q1n1…qjnja b equals p sub 1 raised to the m sub 1 power … p sub k raised to the m sub k power center dot q sub 1 raised to the n sub 1 power … q sub j raised to the n sub j power
𝑎𝑏=𝑝𝑚11…𝑝𝑚𝑘𝑘⋅𝑞𝑛11…𝑞𝑛𝑗𝑗
.
Theo giả thiết, aba b
𝑎𝑏
là một số chính phương. Một số là số chính phương khi và chỉ khi tất cả các số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố của nó đều là số chẵn.
Kết luận về số mũ:
Do các số nguyên tố pip sub i
𝑝𝑖
và qrq sub r
𝑞𝑟
là đôi một khác nhau, nên số mũ của chúng trong phân tích của aba b
𝑎𝑏
chính là các số mũ mim sub i
𝑚𝑖
và nrn sub r
𝑛𝑟
.Vì aba b
𝑎𝑏
là số chính phương ⇒m1,m2,…,mkimplies m sub 1 comma m sub 2 comma … comma m sub k
⇒𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑘
đều là số chẵn.
Vì aba b
𝑎𝑏
là số chính phương ⇒n1,n2,…,njimplies n sub 1 comma n sub 2 comma … comma n sub j
⇒𝑛1,𝑛2,…,𝑛𝑗
đều là số chẵn.

Kết luận:Tất cả số mũ của các thừa số nguyên tố trong aa
𝑎
đều chẵn ⇒aimplies a
⇒𝑎
là số chính phương.
Tất cả số mũ của các thừa số nguyên tố trong bb
𝑏
đều chẵn ⇒bimplies b
⇒𝑏
là số chính phương.