a) Chứng minh tứ giác BCOH là hình thoi
- Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AB = AC và OB = OC = R.
=> AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
- Gọi I là giao điểm của AO và BC.
- Ta có AO $\perp$ BC tại I.
- Xét trong đường tròn (O), ta dựng H sao cho CH // OB và BH // OC.
Khi đó, vì OB $\perp$ AB (tiếp tuyến), nên CH $\perp$ AB.
Tương tự BH $\perp$ AC. H chính là trực tâm của tam giác ABC.
Vì BCOH có CH // OB và BH // OC nên BCOH là hình bình hành.
Mặt khác, OB = OC (bán kính), nên hình bình hành BCOH là hình thoi.
b) Chứng minh 3 điểm A, H, O thẳng hàng
- Vì BCOH là hình thoi (chứng minh ở câu a), nên đường chéo OH vuông góc với đường chéo BC tại trung điểm của mỗi đường.
- Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau, ta đã chứng minh được AO $\perp$ BC tại trung điểm I của BC.
=> AO và HO đều đi qua điểm O và cùng vuông góc với BC.
- Theo tiên đề về đường thẳng vuông góc, AO và HO phải trùng nhau.
Vậy ba điểm A, H, O thẳng hàng.

Tóm tắt giả thuyết thường gặp trong bài tập tương tự:

A nằm ngoài đường tròn (OA nằm ngoài đường tròn).
AB và AC là hai tiếp tuyến tại B và C với đường tròn.
Nối B với E và C với F sao cho BE và CF cắt nhau tại H (thường E và F là các điểm giao giữa các đường thẳng đi qua B và C với một đường thẳng nào đó liên quan đến A hoặc tâm O). Tuy nhiên trong bài bạn đưa ra, vai trò của E và F chưa rõ ràng (ví dụ BE và CF có thể là đường kính hoặc các đường thẳng qua B, C cắt tại H trên AO hoặc HC...).
Để trả lời đúng hai mệnh đề a và b, ta cần sự làm rõ về vị trí của E và F hoặc điều kiện thêm (ví dụ BE và CF là đường thẳng qua B, C cắt nhau tại H nằm trên OA hoặc trên đường kính nào). Tuy vậy, với một số giả thiết phổ biến trong bài tập tương tự, ta có thể cân nhắc hai trường hợp điển hình sau:

Case 1: BE và CF là các đường thẳng qua B và C có cùng hướng (ví dụ BE và CF cắt nhau tại H ở trên OA hoặc trên đường thẳng cố định). Trong trường hợp này, ta thường gặp:

Tứ giác BCOH là hình thoi khi B và C là hai đỉnh đối xứng qua đường thẳng AO hoặc qua tâm O, và OH vuông góc với BC. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào đúng và phụ thuộc cách chọn E và F.
Ba điểm A, H, O thằng hàng khi H nằm trên AO hoặc khi các đường thẳng BE, CF được chọn sao cho AH cắt AO tại O hoặc H trùng với một điểm đặc biệt (ví dụ H nằm trên AO).
Case 2: BE và CF là các đường thẳng nối B và C với các điểm E, F trên các tiếp tuyến tại A hoặc các đường tròn đồng quy, sao cho BE và CF cắt nhau tại H ở rất đặc thù (ví dụ H là trực giao từ B và C với OA). Lúc này:

Có thể chứng minh BCOH là hình thoi nếu OB = OC và OH vuông góc BC, hoặc dựa vào tính chất tiếp xúc và đối xứng của hình tròn – nhưng cần điều kiện rõ ràng để khẳng định.
Do thiếu thông tin về E và F, tôi không thể chắc chắn chứng minh được a) hoặc b) ở dạng đúng. Bạn có thể cho mình thêm:

E và F nằm ở đâu chính xác? BE và CF là các đường thẳng gì, có vuông góc, hay là các tiếp tuyến vuông góc với AB, AC, hoặc là các đường kính qua B và C?
H là giao điểm của BE và CF, đúng không? Có nằm trên OA hoặc trên đường thẳng đặc biệt nào không?
Khi có đầy đủ thông tin, mình sẽ:

Cung cấp lời giải chi tiết cho từng mệnh đề (a) và (b).
Đưa ra các bước chứng minh rõ ràng sử dụng các định lý hình học cơ bản: tính chất tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn, tính chất đối xứng qua AO, định lý đường tròn ngoại tiếp/ nội tiếp, và các bất đẳng thức/đẳng thức liên quan.
Nếu thích, mình có thể trình bày bằng sơ đồ tỉ dụ và cung cấp chứng minh bằng ngôn ngữ và bằng sơ đồ (miễn là bạn cho phép mô tả sơ đồ hoặc gửi hình).
Bạn cho mình biết E và F nằm ở đâu cụ thể hoặc cung cấp hình vẽ/phần mô tả đầy đủ hơn để mình có thể chứng minh chính xác.