Chào bạn, đây là hai bài toán hình học về hình thang vuông rất phổ biến trong chương trình Toán lớp 5 (nâng cao) hoặc Toán lớp 8.

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài:

Bài 1: Hình thang ABCD và điểm M trên cạnh AD
Dữ liệu bài toán:

Hình thang vuông $ABCD$ ($AB // CD$, $\hat{A} = \hat{D} = 90^\circ$).
$AB = 36 \text{ cm}$, $CD = 54 \text{ cm}$, $AD = 40 \text{ cm}$.
$M$ nằm trên $AD$ sao cho $DM = 10 \text{ cm}$. Suy ra $AM = 40 - 10 = 30 \text{ cm}$.
$MN // DC$ (Nên $MN$ cũng vuông góc với $AD$).
Giải:

a) Tính diện tích tam giác $ABN$ và $DCN$:

Diện tích tam giác $ABN$: * Tam giác $ABN$ có đáy $AB = 36 \text{ cm}$.

Chiều cao hạ từ $N$ xuống đáy $AB$ chính bằng đoạn $AM$ (vì $MN // AB$ và $AD \perp AB$).
$S_{ABN} = \frac{36 \times 30}{2} = 540 \text{ cm}^2$.
Diện tích tam giác $DCN$:

Tam giác $DCN$ có đáy $CD = 54 \text{ cm}$.
Chiều cao hạ từ $N$ xuống đáy $CD$ chính bằng đoạn $DM = 10 \text{ cm}$.
$S_{DCN} = \frac{54 \times 10}{2} = 270 \text{ cm}^2$.
b) Tính diện tích hình thang $ABNM$:

Để tính diện tích $ABNM$, ta cần tìm độ dài đáy $MN$.
Sử dụng tính chất đoạn thẳng song song trong hình thang (hoặc tam giác đồng dạng ở lớp 8):

Độ dài $MN = AB + \frac{(CD - AB) \times AM}{AD} = 36 + \frac{(54 - 36) \times 30}{40} = 36 + \frac{18 \times 3}{4} = 36 + 13,5 = 49,5 \text{ cm}$.
Diện tích hình thang $ABNM$:

$S_{ABNM} = \frac{(AB + MN) \times AM}{2} = \frac{(36 + 49,5) \times 30}{2} = 85,5 \times 15 = 1282,5 \text{ cm}^2$.

Bài 2: Thửa ruộng hình thang và con đường
Dữ liệu bài toán:

Hình thang vuông $ABCD$ ($AB = 30 \text{ m}$, $CD = 60 \text{ m}$, $AD = 40 \text{ m}$).
Con đường chạy dọc theo đáy $CD$ có chiều rộng bằng $1/5$ cạnh $AD$.
Giải:

a) Tính diện tích thửa đất lúc chưa đắp:

Diện tích hình thang $ABCD$ là:

$S = \frac{(AB + CD) \times AD}{2} = \frac{(30 + 60) \times 40}{2} = 90 \times 20 = 1800 \text{ m}^2$.
b) Tính diện tích thửa ruộng còn lại:

Chiều rộng con đường là: $40 \times \frac{1}{5} = 8 \text{ m}$.
Khi đắp con đường dọc theo đáy lớn $CD$, phần đất còn lại vẫn là một hình thang vuông nhưng có chiều cao mới.
Chiều cao còn lại là: $40 - 8 = 32 \text{ m}$.
Đáy bé $AB$ vẫn là $30 \text{ m}$.
Đáy lớn mới (gọi là $A'B'$) sẽ bị thu hẹp lại.

Độ dài đáy lớn mới: $CD_{mới} = 30 + \frac{(60 - 30) \times 32}{40} = 30 + \frac{30 \times 32}{40} = 30 + 24 = 54 \text{ m}$.
Diện tích thửa ruộng còn lại:

$S_{còn lại} = \frac{(30 + 54) \times 32}{2} = 84 \times 16 = 1344 \text{ m}^2$.

Lời nhắn: Các bài toán này rất hay dùng để luyện tư duy về tỉ lệ chiều cao và đáy trong hình thang. Bạn có muốn mình vẽ hình minh họa cho bài nào để dễ hình dung hơn không?