Quảng cáo
1 câu trả lời 27
Bài toán:
C = 5 + 5⁴ + 5⁷ + 5¹⁰ + … + 5²⁰²⁰
Chứng minh C chia hết cho 7.
Bước 1: Nhận xét về dãy số mũ của 5 theo modulo 7
Ta xét 5^n mod 7:
5¹ ≡ 5 mod 7
5² ≡ 4 mod 7
5³ ≡ 6 mod 7
5⁴ ≡ 2 mod 7
5⁵ ≡ 3 mod 7
5⁶ ≡ 1 mod 7
Chu kỳ modulo 7 là 6, tức là: 5⁶k ≡ 1, 5^(6k+1) ≡ 5, 5^(6k+2) ≡ 4,…
Bước 2: Viết lại số mũ theo dạng 3n + 1
Dãy số mũ: 1, 4, 7, 10, …, 2020
Nhận thấy: các số mũ đều dạng 3k + 1 (1, 4, 7, 10, …)
Ta tính 5^(3k+1) mod 7:
5^1 ≡ 5
5^4 = 5^(3+1) ≡ 5³ * 5 ≡ 6 * 5 = 30 ≡ 2 mod 7
5^7 = 5^(6+1) ≡ 5⁶ * 5 ≡ 1 * 5 ≡ 5 mod 7
5^10 = 5^(9+1) = 5⁹ * 5 ≡ 6 * 5 ≡ 2 mod 7
Nhận thấy: lặp lại chu kỳ 5, 2, 5, 2 … theo modulo 7
Bước 3: Tính tổng C mod 7
Tổng C gồm 674 số hạng (số mũ từ 1 đến 2020 chia theo bước 3: (2020-1)/3 + 1 = 673 +1 ≈ 674? kiểm tra):
2020 - 1 = 2019
2019 / 3 = 673 → cộng 1 → 674 số hạng
Các số hạng modulo 7 lần lượt: 5, 2, 5, 2, …
Số lượng số hạng = 674 → 674/2 = 337 cặp (5+2)
Mỗi cặp 5 + 2 ≡ 7 ≡ 0 mod 7
Tổng 337 cặp → 337 * 0 ≡ 0 mod 7
Bước 4: Kết luận
C chia hết cho 7
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Điền vào chỗ trống trong bảng thanh toán sau:
Số thứ tự Loại hàng Số lượng (quyển) Giá đơn vị (đồng) Tổng số tiền (đồng) 1 Vở loại 1 35 2000 ... 2 Vở loại 2 42 1500 ... 3 Vở loại 3 38 1200 ... Cộng: ... 170023 -
78717
-
35452
-
32348



