Tư duy cơ bản
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên ($0, 1, 2, 3, \dots$).

Ta đặt các điều kiện của đề bài như sau:

$n+1 = a^2$
$2n+1 = b^2$
$5n+1 = c^2$
Với $a, b, c$ là các số tự nhiên. Vì $n$ là số nguyên dương, nên $n \ge 1$, suy ra $a^2 \ge 2$, $b^2 \ge 3$, $c^2 \ge 6$. Do đó, $a, b, c$ đều phải là các số nguyên dương $\ge 2$.

 Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa $n$ và $a$
Từ phương trình (1): $n+1 = a^2$, ta rút ra được $\mathbf{n = a^2 - 1}$.

 Bước 2: Thay $n$ vào $2n+1$ và $5n+1$
Bây giờ ta thay $n = a^2 - 1$ vào hai biểu thức còn lại để tìm điều kiện của $a$:

Thay vào $2n+1$:

$2n+1 = 2(a^2 - 1) + 1 = 2a^2 - 2 + 1 = 2a^2 - 1$
 

Vì $2n+1 = b^2$, ta có:

$\mathbf{b^2 = 2a^2 - 1}$
 

hay $\mathbf{2a^2 - b^2 = 1}$ (Đây là một phương trình với $a$ và $b$)
Thay vào $5n+1$:

$5n+1 = 5(a^2 - 1) + 1 = 5a^2 - 5 + 1 = 5a^2 - 4$
 

Vì $5n+1 = c^2$, ta có:

$\mathbf{c^2 = 5a^2 - 4}$
 

hay $\mathbf{5a^2 - c^2 = 4}$ (Đây là một phương trình với $a$ và $c$)

 Bước 3: Tìm các giá trị của $a$
Ta cần tìm số tự nhiên $a \ge 2$ nhỏ nhất sao cho cả hai biểu thức $\mathbf{2a^2 - 1}$ và $\mathbf{5a^2 - 4}$ đều là số chính phương.

Ta lập bảng thử các giá trị của $a$:

a
n=a2−1
2a2−1 (cần là SP)
5a2−4 (cần là SP)
Kết luận
2
$2^2 - 1 = 3$
$2(4) - 1 = \mathbf{7}$ (Không SP)
 
Loại
3
$3^2 - 1 = 8$
$2(9) - 1 = \mathbf{17}$ (Không SP)
 
Loại
4
$4^2 - 1 = 15$
$2(16) - 1 = \mathbf{31}$ (Không SP)
 
Loại
5
$5^2 - 1 = \mathbf{24}$
$2(25) - 1 = \mathbf{49} = 7^2$ (SP)
$5(25) - 4 = 125 - 4 = \mathbf{121} = 11^2$ (SP)
Chọn
Vì ta đang tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất, nên ta bắt đầu thử với $a$ nhỏ nhất ($\ge 2$). Khi $a=5$ ta đã tìm được cả hai biểu thức đều là số chính phương.

$2a^2 - 1 = 2(5^2) - 1 = 49 = 7^2 \implies b=7$
$5a^2 - 4 = 5(5^2) - 4 = 121 = 11^2 \implies c=11$

Bước 4: Kết luận
Với giá trị $a$ nhỏ nhất thỏa mãn là $a=5$, ta tìm được $n$ nhỏ nhất tương ứng là:

$n = a^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = \mathbf{24}$
Kiểm tra lại:

$n+1 = 24+1 = \mathbf{25} = 5^2$
$2n+1 = 2(24)+1 = 49 = 7^2$
$5n+1 = 5(24)+1 = 121 = 11^2$
Vậy, số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là $\mathbf{24}$.