Chào bạn, tôi sẽ giúp bạn giải bài toán viết phương trình mặt phẳng $(P)$ này.

Phương trình Mặt phẳng $(P)$
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$, với $\vec{n} = (A, B, C)$ là véctơ pháp tuyến ($A^2 + B^2 + C^2 \ne 0$).

1. Sử dụng Điều kiện đi qua hai điểm A và B
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0, 0, 3)$ và $B(2, -2, 0)$.

(P) qua A(0, 0, 3):

$A(0) + B(0) + C(3) + D = 0 \Rightarrow 3C + D = 0 \Rightarrow D = -3C \quad (*)$
(P) qua B(2, -2, 0):

$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$
Thay $D = -3C$ từ $(*)$ vào phương trình này:

$2A - 2B - 3C = 0 \Rightarrow 2A = 2B + 3C \Rightarrow A = B + \frac{3}{2}C \quad (**)$
Thay $D = -3C$ và $A = B + \frac{3}{2}C$ vào phương trình $(P)$:

$\left(B + \frac{3}{2}C\right)x + By + Cz - 3C = 0$
$\Leftrightarrow B\left(x + y\right) + C\left(\frac{3}{2}x + z - 3\right) = 0$
 

Để thuận tiện, nhân cả phương trình với 2:

$2B(x+y) + C(3x + 2z - 6) = 0$
2. Sử dụng Điều kiện Khoảng cách
Mặt phẳng $(P)$ có véctơ pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$. Khoảng cách từ điểm $M(-1, 1, 6)$ đến $(P)$ là $d(M, (P)) = 1$:

$d(M, (P)) = \frac{|A(-1) + B(1) + C(6) + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = 1$
$\Leftrightarrow |-A + B + 6C + D| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \quad (***)$
Thay $D = -3C$ và $A = B + \frac{3}{2}C$ vào $(***)$:

$\left|-\left(B + \frac{3}{2}C\right) + B + 6C - 3C\right| = \sqrt{\left(B + \frac{3}{2}C\right)^2 + B^2 + C^2}$
$\left|-B - \frac{3}{2}C + B + 3C\right| = \sqrt{\left(B^2 + 3BC + \frac{9}{4}C^2\right) + B^2 + C^2}$
$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$0
Bình phương hai vế:

$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$1
$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$2
$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$3
$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$4
Đây là phương trình bậc hai theo $B$ và $C$. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: $C = 0$

$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$5
 

Nếu $B=0$ và $C=0$, từ $(*)$ và $(**)$ ta có:

$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$6
$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$7
 

$\Rightarrow A = B = C = D = 0$. Điều này vô lí vì $\vec{n} \ne \vec{0}$.

$\Rightarrow$ Loại trường hợp này.
Trường hợp 2: $C \ne 0$

Chia cả phương trình cho $C^2$ (đặt $t = \frac{B}{C}$):

$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$8
$A(2) + B(-2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow 2A - 2B + D = 0$9
 

Giải phương trình bậc hai: $(2t+1)(t+1) = 0$

$2A - 2B - 3C = 0 \Rightarrow 2A = 2B + 3C \Rightarrow A = B + \frac{3}{2}C \quad (**)$0
3. Tìm các Phương trình Mặt phẳng $(P)$
Trường hợp 3.1: $t = -1 \Rightarrow \frac{B}{C} = -1 \Rightarrow B = -C$
Tìm A và D theo C:

$D = -3C$
$A = B + \frac{3}{2}C = -C + \frac{3}{2}C = \frac{1}{2}C$
Chọn $C = 2$ (để loại bỏ phân số):

$C = 2$
$B = -2$
$A = \frac{1}{2}(2) = 1$
$D = -3(2) = -6$
Phương trình mặt phẳng $(P_1)$:

$2A - 2B - 3C = 0 \Rightarrow 2A = 2B + 3C \Rightarrow A = B + \frac{3}{2}C \quad (**)$1
Trường hợp 3.2: $t = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{B}{C} = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = -2B$
Tìm A và D theo B: (Thay $C = -2B$ vào $A = B + \frac{3}{2}C$ và $D = -3C$)

$D = -3(-2B) = 6B$
$A = B + \frac{3}{2}(-2B) = B - 3B = -2B$
Chọn $B = 1$:

$B = 1$
$C = -2(1) = -2$
$A = -2(1) = -2$
$D = 6(1) = 6$
Phương trình mặt phẳng $(P_2)$:

$2A - 2B - 3C = 0 \Rightarrow 2A = 2B + 3C \Rightarrow A = B + \frac{3}{2}C \quad (**)$2
 

Nhân với $(-1)$ để có hệ số $x$ dương:

$2A - 2B - 3C = 0 \Rightarrow 2A = 2B + 3C \Rightarrow A = B + \frac{3}{2}C \quad (**)$3

Kết quả
Có hai mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn điều kiện đề bài:

$2A - 2B - 3C = 0 \Rightarrow 2A = 2B + 3C \Rightarrow A = B + \frac{3}{2}C \quad (**)$4
$2A - 2B - 3C = 0 \Rightarrow 2A = 2B + 3C \Rightarrow A = B + \frac{3}{2}C \quad (**)$5