Chào bạn, để tìm số tự nhiên $n$ trong khoảng $290 < n < 360$ sao cho phân số $\frac{5n+2}{2n+7}$ rút gọn được, ta cần tìm $n$ sao cho tử số và mẫu số có **ước chung lớn hơn 1**.

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của $(5n+2)$ và $(2n+7)$, tức là $d = \text{ƯCLN}(5n+2, 2n+7)$.
Phân số rút gọn được khi $d > 1$.

Ta có:
$d \mid (5n+2) \quad \text{và} \quad d \mid (2n+7)$

Sử dụng tính chất $\text{ƯCLN}(a, b) = \text{ƯCLN}(a, b-ka)$ để tìm mối quan hệ của $d$:

1. Nhân $(5n+2)$ với 2 và $(2n+7)$ với 5:
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$
$d \mid 5(2n+7) \implies d \mid (10n+35)$

2. Trừ hai biểu thức:
$d \mid [(10n+35) - (10n+4)]$
$d \mid (35 - 4)$
$d \mid 31$

Vì 31 là một **số nguyên tố**, nên ước số $d$ của nó chỉ có thể là $1$ hoặc $31$.
Do ta cần phân số **rút gọn được**, nên ta phải có $d > 1$, tức là $\mathbf{d = 31}$.

Để $d = 31$, ta cần $(2n+7)$ chia hết cho 31:
$2n+7 \vdots 31$

$\implies 2n+7 = 31k \quad (k \in \mathbb{N}^*)$

Ta rút $n$ theo $k$:
$2n = 31k - 7$

Do $2n$ là số chẵn, nên $31k - 7$ phải là số chẵn.
$\implies 31k$ phải là số lẻ (vì $7$ là số lẻ).
$\implies k$ phải là số **lẻ**. Đặt $k = 2m + 1$ với $m \in \mathbb{N}$.

Thay $k = 2m+1$ vào biểu thức của $2n$:
$2n = 31(2m+1) - 7$
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$0
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$1
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$2

---

## 🔎 Tìm $n$ trong khoảng $290 < n < 360$

Ta thay biểu thức của $n$ vào điều kiện $290 < n < 360$:
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$3

1. Trừ 12 cho cả ba vế:
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$4
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$5

2. Chia cho 31:
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$6

Thực hiện phép chia:
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$7

Vì $m$ là số tự nhiên, nên các giá trị nguyên thỏa mãn của $m$ là $m = 9$, $m = 10$, và $m = 11$.

* **Với $m=9$:**
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$8
* **Với $m=10$:**
$d \mid 2(5n+2) \implies d \mid (10n+4)$9
* **Với $m=11$:**
$d \mid 5(2n+7) \implies d \mid (10n+35)$0

---

## ✅ Kết luận

Các số tự nhiên $n$ trong khoảng $290 < n < 360$ để phân số $\frac{5n+2}{2n+7}$ rút gọn được là:
$d \mid 5(2n+7) \implies d \mid (10n+35)$1

Để phân số 2n+75n+2​ rút gọn được, ước chung lớn nhất của tử số (5n+2) và mẫu số (2n+7) phải lớn hơn 1.

Ta gọi d là ước chung lớn nhất của (5n+2) và (2n+7), tức là:

Khi đó, ta có:

Để tìm mối liên hệ của d, ta khử n bằng cách nhân chéo các biểu thức:

1. Nhân biểu thức thứ nhất với 2:

   2(5n+2)=10n+4⋮d

2. Nhân biểu thức thứ hai với 5:

   5(2n+7)=10n+35⋮d

3. Lấy hiệu của hai biểu thức trên:

   (10n+35)−(10n+4)⋮d
   31⋮d

Suy ra, d là ước của 31.

Vì 31 là số nguyên tố, nên các ước của 31 là 1 và 31.

Phân số 2n+75n+2​ rút gọn được khi và chỉ khi d>1, tức là:

Điều này xảy ra khi:

Ta đặt 2n+7=31k (với k là số tự nhiên).

Vì n là số tự nhiên, nên (31k−7) phải là số chẵn.

• 31k là số lẻ ×k.

• 7 là số lẻ.

• Số chẵn = Số lẻ ×k - Số lẻ.

• Điều này xảy ra khi k là số lẻ.

Ta đặt k=2m+1 (với m∈N). Thay vào công thức của n:

Ta cần tìm số tự nhiên n sao cho 290≤n≤360 và n có dạng 31m+12.

Chia tất cả các vế cho 31:

Vì m là số tự nhiên, ta chọn các giá trị nguyên của m:

Thay các giá trị của m vào công thức n=31m+12:

• Với m=9: n=31(9)+12=279+12=291

• Với m=10: n=31(10)+12=310+12=322

• Với m=11: n=31(11)+12=341+12=353

Các số tự nhiên n nằm trong khoảng 290 đến 360 để phân số rút gọn được là: 291,322,353.