Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải bài này thật chi tiết và rõ ràng nhé.

---

**Bài toán:**
Cho \( A = 1 + 5 + 51 + 52 + \dots + 5100 \).
Tìm số dư khi \( A \) chia cho 31.

---

### Bước 1: Hiểu đề bài

Trong đề bài, có vẻ có một số nhầm lẫn hoặc thiếu rõ ràng. Tôi sẽ giả thiết rằng ý của đề là:

\[ A = 1 + 5 + 51 + 52 + \dots + 5100 \]

tức là các số bắt đầu bằng 1 hoặc 5, hoặc là các số từ 1 đến 5100.

Tuy nhiên, dựa vào cách viết, có thể ý muốn nói là:

- Bắt đầu từ 1, cộng dần các số: 1, 5, 51, 52, ..., 5100.

Hoặc là:

- Các số từ 1 đến 5100, cộng tất cả các số có chữ số bắt đầu bằng 1 hoặc 5.

Hoặc là:

- Các số trong khoảng từ 1 đến 5100, có dạng 5^k hoặc 1^k (không rõ).

---

### Giả thiết phù hợp nhất:

**Giả thiết 1:**
A là tổng các số từ 1 đến 5100, cộng thêm các số 5, 51, 52 (và có thể các số khác) - nhưng cách rõ ràng nhất là:

**Giả thiết 2:**
A là tổng tất cả các số từ 1 đến 5100.

---

### Giải thích theo giả thiết 2:

**A = tổng các số từ 1 đến 5100**

Ta sẽ tính:

\[
A = 1 + 2 + 3 + \dots + 5100
\]

**Công thức tổng các số từ 1 đến n:**

\[
\frac{n(n+1)}{2}
\]

Với \( n = 5100 \):

\[
A = \frac{5100 \times 5101}{2}
\]

---

### Bước 2: Tính A

\[
A = \frac{5100 \times 5101}{2}
\]

Chúng ta cần tính số dư của \( A \) khi chia cho 31.

---

### Bước 3: Tìm số dư của \( A \) khi chia cho 31

Ta cần tính:

\[
A \bmod 31
\]

Vì:

\[
A = \frac{5100 \times 5101}{2}
\]

Chúng ta có thể tính từng phần theo modulo:

- Tính \( 5100 \bmod 31 \)
- Tính \( 5101 \bmod 31 \)
- Tính \( \frac{5100 \times 5101}{2} \bmod 31 \)

---

### Bước 4: Tính \( 5100 \bmod 31 \) và \( 5101 \bmod 31 \)

Chia 5100 cho 31:

\[
31 \times 164 = 5084
\]
\[
5100 - 5084 = 16
\]

Vậy:

\[
5100 \bmod 31 = 16
\]

Tiếp theo:

\[
5101 \bmod 31 = (5100 + 1) \bmod 31 = (16 + 1) \bmod 31 = 17
\]

---

### Bước 5: Tính \( A \bmod 31 \)

\[
A = \frac{5100 \times 5101}{2}
\]

Ta sẽ tính \( 5100 \times 5101 \bmod 31 \), rồi chia cho 2.

Vì phép chia cho 2 trong modulo phức tạp, ta sẽ tính theo cách:

\[
A \equiv \left( \frac{(5100 \bmod 31) \times (5101 \bmod 31)}{2} \right) \pmod{31}
\]

Tức là:

\[
A \equiv \frac{16 \times 17}{2} \pmod{31}
\]

Tính \( 16 \times 17 \):

\[
16 \times 17 = 272
\]

Bây giờ, tính \( 272 \bmod 31 \):

\[
31 \times 8 = 248
\]
\[
272 - 248 = 24
\]

Vậy:

\[
272 \bmod 31 = 24
\]

Nên:

\[
A \equiv \frac{24}{2} \pmod{31}
\]

Tiếp theo, ta cần tính số kì tích của 2 trong modulo 31, tức là tìm số mà nhân với 2 cho ra 1 modulo 31 (tìm nghịch đảo của 2 mod 31).

---

### Bước 6: Tìm nghịch đảo của 2 modulo 31

Tìm \( x \) sao cho:

\[
2x \equiv 1 \pmod{31}
\]

Thử các giá trị:

\[
2 \times 16 = 32 \equiv 1 \pmod{31}
\]

Vậy:

\[
2^{-1} \equiv 16 \pmod{31}
\]

---

### Bước 7: Tính \( A \bmod 31 \)

\[
A \equiv 24 \times 16 \pmod{31}
\]

Tính:

\[
24 \times 16 = 384
\]

Chia 384 cho 31:

\[
31 \times 12 = 372
\]
\[
384 - 372 = 12
\]

Vậy:

\[
A \equiv 12 \pmod{31}
\]

---

### **Kết luận:**

Số dư của \( A \) khi chia cho 31 là **12**.

---

Nếu có gì chưa rõ hoặc cần giải thích thêm, bạn cứ hỏi nhé!