Để chứng minh
31+32+33+34+...+399+31003 mũ một cộng với 3 bình phương cộng với 3 mũ ba cộng với 3 mũ bốn cộng với điểm điểm điểm cộng với 3 mũ chín 9 cộng với 3 mũ một 00
31+32+33+34+...+399+3100
chia hết cho 4, ta nhóm các số hạng thành từng nhóm 2 số và sử dụng phép đặt nhân tử chung để chứng minh tổng của mỗi nhóm chia hết cho 4. Tổng điều này có thể viết lại thành (31+32)+(33+34)+...+(399+3100)mở ngoặc đơn 3 mũ một cộng với 3 bình phương đóng ngoặc đơn cộng mở ngoặc đơn 3 mũ ba cộng với 3 mũ bốn đóng ngoặc đơn cộng với điểm điểm điểm cộng mở ngoặc đơn 3 mũ chín 9 cộng với 3 mũ một 00 đóng ngoặc đơn
(31+32)+(33+34)+...+(399+3100)
và sau đó là bằng chứng tổng hợp của các nhóm này chia hết cho 4. 

Bước 1: Nhóm các phân loại thành từng cặp 
Ta có thể nhóm các số thứ tự của các chuỗi thành các cặp có dạng (3N+3N+1)mở ngoặc đơn 3 mũ n cộng 3 mũ n cộng 1 đóng ngoặc đơn
(3𝑛+3𝑛+1)
.
Dãy số có 100 số hạng nên sẽ có 100/2=50100/2 bằng 50
100/2=50
cặp như sau: S=(31+32)+(33+34)+...+(399+3100)cap S bằng mở ngoặc đơn 3 mũ một cộng với 3 bình phương đóng ngoặc đơn cộng với mở ngoặc đơn 3 mũ ba cộng với 3 mũ bốn đóng ngoặc đơn cộng với điểm điểm điểm cộng mở ngoặc đơn 3 mũ chín 9 cộng với 3 mũ một 00 đóng ngoặc đơn
𝑆=(31+32)+(33+34)+...+(399+3100)
. 

Bước 2: Đặt nhân tử chung cho từng cặp 
Với mỗi cặp, ta đặt chung tử tử là số mũ nhỏ nhất ngoài: 31+32=3(1+3)=3×43 mũ 1 cộng 3 bình phương bằng 3 mở ngoặc đơn 1 cộng 3 đóng ngoặc đơn bằng 3 chéo 4
31+32=3(1+3)=3×4

33+34=33(1+3)=33×43 mũ ba cộng với 3 mũ bốn bằng 3 mũ ba mở ngoặc đơn 1 cộng với 3 đóng ngoặc đơn bằng 3 mũ ba chéo 4
33+34=33(1+3)=33×4

...
399+3100=399(1+3)=399×43 mũ chín 9 cộng 3 mũ một 00 bằng 3 mũ chín 9 mở ngoặc đơn 1 cộng 3 đóng ngoặc đơn bằng 3 mũ chín 9 chéo 4
399+3100=399(1+3)=399×4
 

Bước 3: Rút ra kết luận 
Sau khi cài đặt chung nhân tử, ta có: S=(3×4)+(33×4)+...+(399×4)cap S bằng mở ngoặc đơn 3 chéo 4 đóng ngoặc đơn cộng mở ngoặc đơn 3 lũy thừa 4 đóng ngoặc đơn cộng điểm điểm điểm cộng mở ngoặc đơn 3 mũ chín 9 chéo 4 đóng ngoặc đơn
𝑆=(3×4)+(33×4)+...+(399×4)
.

Đây là tổng có các số hạng đều chia hết cho 4.
Vì vậy, tổng Smũ S
𝑆
cũng phải chia hết cho 4.
Dấu hiệu chia hết cho 4 được áp dụng ở đây: Nếu tổng của các số chia hết cho một số nào thì tổng số đó cũng chia hết cho số đó.