Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét đạo hàm \( f'(x) \):

\[
f'(x) = (x - 1)(x - 2)^2 (x + 3)
\]

Các bước để tìm số điểm cực trị:

1. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 (nghĩa là các điểm tới hạn):

\[
f'(x) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 2)^2 (x + 3) = 0
\]

Các nghiệm là:

\[
x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3
\]

2. Xác định loại điểm cực trị (điểm cực trị cực đại hoặc cực tiểu):

- Nhận biết dựa vào dấu của \( f'(x) \) thay đổi qua các điểm tới hạn.

- Trên mỗi khoảng, kiểm tra dấu của \( f'(x) \):

- \( (x - 1) \):
- dương khi \( x > 1 \),
- âm khi \( x < 1 \).

- \( (x - 2)^2 \):
- luôn dương hoặc bằng 0, vì bình phương, luôn không âm, chỉ bằng 0 tại \( x = 2 \).

- \( (x + 3) \):
- dương khi \( x > -3 \),
- âm khi \( x < -3 \).

3. Xác định số điểm cực trị:

- Tại \( x = -3 \):

- Trước \( x = -3 \) (ví dụ \( x < -3 \)), ta lấy ví dụ \( x = -4 \):

\[
f'(-4) = (-4 - 1)((-4 - 2)^2)(-4 + 3) = (-5)(36)(-1) = (-5)(36)(-1) = 180 > 0
\]

- Sau \( x = -3 \) (ví dụ \( x = -2 \)):

\[
f'(-2) = (-2 - 1)((-2 - 2)^2)(-2 + 3) = (-3)(16)(1) = -48 < 0
\]

- Dấu biến đổi từ dương sang âm → điểm \( x = -3 \) là **điểm cực trị** (cực đại).

- Tại \( x = 1 \):

- Trước \( x = 1 \) (ví dụ \( x = 0 \)):

\[
f'(0) = (0 - 1)(-2)^2(0 + 3) = (-1)(4)(3) = -12 < 0
\]

- Sau \( x = 1 \) (ví dụ \( x = 2 \)):

\[
f'(2) = (2 - 1)(0)^2(2 + 3) = (1)(0)(5) = 0
\]

(Chú ý: \( (x - 2)^2 \) tại \( x=2 \) là 0, nên \( f'(2) = 0 \).)

- Từ âm sang 0 → điểm \( x=1 \) là **điểm cực trị** (cực tiểu hoặc cực đại tùy dấu sau \( x=1 \)).

- Kiểm tra dấu sau \( x=1 \), ví dụ \( x=1.5 \):

\[
f'(1.5) = (1.5 - 1)(1.5 - 2)^2(1.5 + 3) = (0.5)(-0.5)^2(4.5) = (0.5)(0.25)(4.5) > 0
\]

- Dấu từ âm sang dương → điểm \( x=1 \) là **điểm cực tiểu**.

- Tại \( x=2 \):

- Trước \( x=2 \) (ví dụ \( x=1.5 \)):

\[
f'(1.5) > 0 \quad (đã kiểm tra trên)
\]

- Sau \( x=2 \) (ví dụ \( x=3 \)):

\[
f'(3) = (3 - 1)(3 - 2)^2(3 + 3) = (2)(1)^2(6) = 12 > 0
\]

- Không có sự thay đổi dấu, nên **không phải điểm cực trị** tại \( x=2 \).

Kết luận:

- Các điểm cực trị nằm tại các điểm tới hạn có dấu \( f'(x) \) thay đổi, cụ thể:

- \( x = -3 \): điểm cực đại.
- \( x=1 \): điểm cực tiểu.

- Tổng số **điểm cực trị** là **2**.

---

 Công thức dễ nhớ:

"Xét đạo hàm, tìm nghiệm, kiểm tra dấu đổi"

- Bước 1: Tìm các nghiệm của \( f'(x) = 0 \).

- Bước 2: Kiểm tra dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng cách của các nghiệm đó.

- Bước 3: Dấu đổi qua nghiệm cho biết điểm đó là cực đại hoặc cực tiểu.